1.17.1 Последовательное соединение элементов в систему

Соединение элементов называется последовательным, если отказ, хотябы одного элемента приводит к отказу всей системы. Система последовательно соединённых элементов работоспособна тогда, когда работоспособны все её элементы.

Рассчитаем надёжность системы при последовательном соединении элементов в систему. Рассчитать надёжность системы - это значит по заданным количественным характеристикам надёжности элементов определить количественные характеристики надёжности системы.

Рассмотрим события A_i, .

Событие A_iозначает безотказную работу элемента i за время t.

Считаем, что события A_i независимы, т.е. вероятность события A_iP(A_i) не зависит от события A_j, .

В этом случае элементы системы называются независимыми в смысле надёжности.

Рассмотрим событие A.

Событие A означает безотказную работу системы из n последовательно соединённых элементов за время t.

Событие A имеет место, если одновременно выполняются события A_i, . Следовательно событие A равно произведению событий A_i, т.е.

Обозначим – вероятность безотказной работы системы за время t.

– вероятность безотказной работы i-го элемента за время t.

Откуда .

Т.е., вероятность безотказной работы системы за время t равна произведению вероятностей безотказной работы за время t элементов системы.

В частном случае, когда все элементы системы одинаковы, имеем

;

;

Выразим вероятность безотказной работы элементов через их интенсивность отказов

. Имеем

;

Запишем формулы для определения вероятности безотказной работы системы . Имеем

Или

Где

Здесь - интенсивность отказов системы.

Т.е., при последовательном соединении элементов их интенсивность отказов складывается, и интенсивность отказов системы есть сумма интенсивностей отказов элементов системы.

Вероятность отказа системы на интервале времени (0, t) равна

Или ;

Интенсивность отказов системы

Среднее время безотказной работы системы

В случае экспоненциального закона надёжности всех элементов имеем:

;

; ;

;

;

;

Т.е. закон распределения времени безотказной работы системы является экспоненциальным.

Определим среднее время безотказной работы системы. Имеем

;

2. Параллельные соединения элементов в систему

Здесь отказ всего соединения элементов наступает только тогда, когда отказывают все входящие в соединения элементы. Рассмотрим события , .

События означает отказ элемента j. Считаем, что события – независимые, т.е. вероятность появления события не зависит от события , . В этом смысле элементы соединения называются независимыми в смысле надёжности.

Рассмотрим событие B.

Событие B означает отказ всех входящих в соединение элементов. Событие B имеет место, если одновременно выполняются события , . Следовательно, событие B равно произведению событий , т.е.

.

Из теории вероятностей известно, что в этом случае

;

Обозначим

- вероятность отказа системы;

- вероятность отказа j-го элемента.

Откуда

Или .

Т.е., вероятность отказа системы параллельно соединённых элементов равна произведению вероятностей отказа всех элементов этого соединения.

Вероятность безотказной работы системы

или ;