6. Представление целых положительных и отрицательных чисел

Рассмотрим n-разрядный вектор

В = b_n-1 ... b₁ b_o

Здесь b_i = 0 или 1 при 0 < i < n–1. Этот вектор может представлять беззнаковое целочисленное значение V в диапазоне от 0 до 2ⁿ–1, где

V(B) = b_n-1 × 2^n-1 + … + b₁ × 2¹ + b₀ × 2⁰

Совершенно очевидно, что нам необходимо как-то представлять и положи­тельные, и отрицательные числа. Существуют три системы представления чисел со знаком:

• значение со знаком;

• дополнение до единицы;

• дополнение до двух.

Во всех трех системах крайний слева бит, называемый самым старшим разрядом (MBS), равен 0 в случае положительных чисел и 1 — в случае отрицательных. В таблице 1 показаны все три представления на примере 4-разрядных (4-битовых) чисел. Положительные значения во всех трех системах представляются одинаково, а отрицательные — по-разному. В системе значения со знаком отрицательные числа отличаются от соответствующих положительных чисел тем, что значение самого старшего бита (b₃ на рисунке) в векторе B равняется не 0, а 1. Например, число +5 представляется как 0101, а число –5 как 1101. В представлении дополнения до единицы отрицательные значения получают путем дополнения каждого разряда соответствующего положительного значения до единицы. Таким образом, представление числа –3 формируется путем дополнения каждого бита вектора 0011, так что в результате получается 1100. Очевидно, что эту же операцию необходимо выполнить для преобразования отрицательного числа в соответствующее положительное. И в одном и в другом случае преобразование называется дополнением числа до единицы. Операция формирования дополнения заданного числа до единицы эквивалентна вычитанию этого числа из 2ⁿ-1, то есть из 1111 в случае 4-разрядных чисел (см. таблицу 1). В системе дополнения до двух операция дополнения производится путем вычитания числа из 2ⁿ. То же самое значение можно получить и путем добавления 1 к дополнению этого числа до единицы.

Таблица 1 – Двоичное представление целых чисел со знаком

Двоичное значение	Представление числа в системе
b1b2b3b4	значения со знаком	дополнения до единицы	дополнения до двух
0111	+7	+7	+7
0110	+6	+6	+6
0101	+5	+5	+5
0100	+4	+4	+4
0011	+3	+3	+3
0010	+2	+2	+2
0001	+ 1	+1	+1
0000	+0	+0	+0
1000	–0	–7	–8
1001	–1	–6	–7
1010	–2	–5	–6
1011	–3	–4	–5
1100	–4	–3	–4
1101	–5	–2	–3
1110	–6	–1	–2
1111	–7	–0	–1

Обратите внимание, что в системах значения со знаком и дополнения до единицы числа +0 и –0 представляются по-разному, а в системе дополнения до двух — одинаково. Имея всего четыре разряда, значение –8 можно представить в системе дополнения до двух, но нельзя представить ни в одной из двух других систем. Для нас наиболее естественной представляется система значения со знаком, поскольку мы привыкли иметь дело с десятичными значениями со знаком. Систему дополнения до единицы относительно легко связать с системой значения со знаком, а вот система дополнения до двух кажется несколько неестественной. Но, как будет показано далее, именно она оказалась наиболее эффективным