Контрольные вопросы

1. Как ставится задача точечной аппроксимации функции?

2. Как определяется многочлен наилучшего среднеквадратического приближения функции? Как связана его степень с количеством заданных узловых точек? Когда он совпадает с интерполяционным многочленом?

3. Как обосновывается существование и единственность многочлена наилучшего приближения?

4. Какая задача требует составления эмпирической формулы?

5. Как определяются наилучшие параметры выбранной эмпирической формулы? Как называется этот метод?

6. Как оценивается погрешность составленной эмпирической формулы?

Задание №1. По заданной таблице приближенных значений функции y=f(x) найти эмпирическую формулу в виде:

; ; .

Варианты задания 1 приводятся в таблице 7.

Задание №2. Приведите графики исходной и полученных в задании 1 зависимостей на одном рисунке.

Задание №3. Выберите из полученных в задании 1 формул наилучшую по критерию наименьшей среднеквадратической ошибки.

Таблица 7

Лабораторная работа 6 Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Рассмотрим задачу Коши: найти решение дифференциального уравнения y'=f(x,y), удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀.

Теорема (условие существования и единственности решения). Пусть выполнены условия:

1. функция двух переменных f(x,y) определена в области G, непрерывна в прямоугольнике R={(x,y)| |x-x₀| a, |y-y₀| b}G и

(x,y)R |f(x,y)| M;

2. функция двух переменных f(x,y) имеет частную производную по переменной y в каждой точке прямоугольника R, причем

 N>0 (x,y)R |f '_y(x,y)| N.

Тогда существует единственное решение y=(x) дифференциального уравнения y'=f(x,y), определенное и непрерывное на отрезке [x₀-d, x₀+d], где d=min{a, }, такое, что (x₀)=y₀.

Метод последовательных приближений

Если выполнены все условия теоремы, то для решения задачи Коши можно использовать метод последовательных приближений:

y₀(x)=y₀,

y_n(x)=y₀+ , n=1,2,….

Для оценки погрешности используется формула

|y_n(x)-(x)|  .

Метод последовательных приближений решения задачи Коши является приближенно аналитическим. Существуют и другие приближенные методы решения дифференциальных уравнений, среди которых особо выделяют численные методы. Пусть на отрезке [x₀, x_n] существует единственное решение задачи Коши. Рассмотрим класс численных методов Рунге-Кутта. Разобьем отрезок [x₀, x_n] точками x₀, x₁, x₂, …, x_n на n равных отрезков длины h. Реализация численных методов сводится к последовательному нахождению приближенных значений y₁, y₂, …, y_n в точках x₁, x₂, …, x_n, для чего на каждом шаге вычисляется поправка y_i,и тогда

y_i+1=y_i+y_i, i=0,1,2,…,n -1.

Численные методы Рунге-Кутта отличаются друг от друга способом вычисления поправки на шаге.

При вычислении последовательных значений y₁, y₂, …, y_n происходит накопление погрешности. Для приближенной оценки погрешности применяют обычно двойной пересчет с шагом h и с шагом , обозначая при этом приближенное значение решения в точке x_i, полученное с шагом h, за y_i, а улучшенное значение, полученное с шагом , за .

Метод Эйлера-Коши

y_i= (f(x_i, y_i)+f(x_i+1, )), где = y_i+h f(x_i, y_i).

Абсолютную погрешность метода определяют из приближенного равенства

| -y(x_i)|  | - y_i|, i=1,2,…,n.