Указания к выполнению заданий

Задание №1. Составить таблицу конечных разностей (см. указание к выполнению задания 3 лабораторной работы №3).

Задание №2. Составить таблицу значений функции на отрезке [a; b] с постоянным шагом h =

x	a	a+h	a+2h	…	a +12 h = b
f(x)

Таблица 6

Вари анты	f(x)	a	b	Вари анты	f(x)	a	b
1	0,37еsin x	0	1,2	16	3 x е cos x	0,2	1,4
2	0,5x+xlgx	1	2,2	17	x2 tg	1,5	2,7
3	(x+1,9)sin	1	2,2	18	cos x x	1,6	2,8
4	ln (x+2)	2	3,2	19	(x2+1) tg	1,5	2,7
5	3cos x 2x+1,7	0	1,2	20	cos 2x 0,5x+1,5	0	1,2
6	(2x+0,6)cos	1	2,2	21		1	2,2
7	2,6x2 ln x	1,2	2,4	22	ln(x+1)	2	3,2
8	(x2+1) sin(x-0,5)	0,5	1,7	23	3x2+xln x	1	2,2
9	x2cos	2	3,2	24		0,2	1,4
10	sin(0,2x-3) x2+1	3	4,2	25	(x2+x+1) e-x	-1	0,2
11	3x+ ln x	1	2,2	26	sin x x	1,6	2,8
12	4x	-1	0,2	27		1	2,2
13	3x2 +tg x	-0,5	0,7	28	x2	0,5	1,7
14	3x2 +sin x x2	2	3,2	29	ln x x	1	2,2
15		0,8	2	30	sin2x2-tg3x	-0,3	0,9

Лабораторная работа 5 Среднеквадратическое приближение функций и построение эмпирических формул

Пусть при изучении функциональной зависимости получен ряд значений величин х и y:

х	х0	x1	…	xn
y	y0	y1	…	yn

Если аналитическое выражение функции неизвестно или весьма сложно, то находят эмпирическую формулу

(1)

где неизвестные параметры согласно методу наименьших квадратов выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений значений от , вычисленных по формуле (1), была наименьшей, то есть

. (2)

Система уравнений для нахождения неизвестных параметров формулы (1) имеет вид:

. (3)

Решив систему (3) (в случае ее разрешимости), найдем так называемые наилучшие, или оптимальные, параметры Тогда искомая эмпирическая формула примет вид:

В случае, когда функция (1) имеет вид многочлена

степени m  n, то система (3) имеет единственное решение и, значит, составление эмпирической формулы

(4)

возможно. Погрешность эмпирической формулы (4) оценивается с помощью среднеквадратической ошибки:

.

Многочлен (4) называется наилучшим среднеквадратическим приближением функции в классе многочленов степени m.

Виды функциональной зависимости

1. Линейная зависимость. Эмпирическая формула для этой зависимости имеет вид , а система (3) нахождения наилучших ее параметров принимает вид:

(5)

где .

2. Квадратичная зависимость. Эмпирическая формула в этом случае имеет вид , а система (3) переходит в систему

3. Степенная зависимость. Эмпирическая формула имеет вид . Логарифмируя эту формулу и вводя новые переменные

видим, что исходная степенная зависимость сводится к линейной зависимости между Y и X:

где

Наилучшие параметры для этой линейной зависимости найдем из системы (5) с коэффициентами

Тогда параметры и будут наилучшими в эмпирической формуле для степенной зависимости: .