37. Поняття умовного екстремуму функції багатьох змінних та методи його обчислення.

Екстремуми функцій багатьох змінних. Максимумом (мінімумом) функції z=f (x;y) у точці M₀ (x_0, y₀) називають таке її значення f (х₀,у₀), яке більше (менше) всіх інших її значень, що набуваються в точках M (x, y), достатньо близьких до точки M₀ (x_0, y₀) і відмінних від неї. Максимум і мінімум функції називають її екстремумом. Точку, у якій функція досягає екстремуму, називають точкою екстремуму.

Теорема 1 (необхідні умови екстремуму).

У точці екстремуму диференційованої функції багатьох змінних її частинні похідні дорівнюють нулю, тобто

Теорема 2 (достатні умови існування екстремуму).

Нехай M₀ (x_0, y₀)- стаціонарна точка, тоді:

1. якщо d²z(x_0, y₀) 0, то f (х₀,у₀) – max функції z=f (x;y)

2. якщо d²z(x_0, y₀) 0, то f (х₀,у₀) – min функції z=f (x;y)

Щоб знайти екстремум функції багатьох змінних, які пов’язані між собою одним або кількома рівняннями (число рівнянь має бути меншим за кількість змінних), застосовують метод невизначених множників Лагранжа і говорять про умовний екстремум.

Щоб знайти ум. екстр. функції , за наявності рівняння зв’язку , складають функцію Лагранжа

.

Де F – функція Лагранжа; - невизначений постійний множник Лагранжа,

і шукають її екстремум.

Необхідні умови екстремуму функції Лагранжа виражають системою трьох рівнянь з трьома невідомими:

Характер умовного екстремуму можна встановити за знаком диференціала другого порядку функції Лагранжа: якщо у стаціонарній точці , то це є точка умовного мінімуму (максимуму).

38. Диференціальні рівняння 1-го порядку: загальний вигляд, поняття задачі Коші та її розв’язку, геометричний зміст, загальний розв’язок, теорема Коші існування та єдності розв’язку.

1. Диференціальним рівнянням першого порядку (ДР1п) називають рівняння, яке пов’язує невідому функцію, її аргумент і похідну y’ і має загальний вигляд:

F (x, y, y’) = 0 або y’ = f(x, y).

Знаходження невідомої функції, що входить у диференціальне рівняння, називають розв’язуванням або інтегруванням цього рівняння.

2. Задачею Коші для рівняння F(x, y, y') = 0 називається задача знаходження розв'язку цього рівняння при заданих початкових умовах: y(x₀) = y₀.

Задачу знаходження розв’язку ДР1п, який задовольняє початкову умову або називають задачею Коші.

Для диференціального рівняння другого порядку задачу Коші записують у вигляді:

Розв’язати задачу Коші з геометричної точки зору означає: знайти серед усіх інтегральних кривих диференціального рівняння ту, яка проходить через задану точку .

Функцію визначену в деякій області змінних х і с, і яка має неперервну частинну похідну за х будемо називати загальним розвязком диференціального рівняння в області D, якщо рівняння можна розвязати відносно с в області D і функція є розвязком диференціального рівняння при всіх значеннях довільної сталої с, які визначаються формулою , коли .

Для розвязування задачі Коші константу можна знайти згідно .

Теорема Коші про існування і єдиність розв'язку задачі Коші. Нехай y' f(x, y) - деяке диференційне рівняння першого порядку, і f(x, y) є неперервною в деякій відкритій області G, і похідна також є неперервною на G. Тоді   розв'язок задачі Коші існує і він єдиний у цій області.

39. ДР І-го порядку з відокремленими та відокремлюваними змінними.

Розглянемо рівняння в диференціалах виду ,

де – неперервні функції своїх аргументів.

Диференціальне рівняння називається рівнянням з відокремленими змінними.

Його можна переписати таким чином .

Звідки маємо загальний розв’язок в квадратурах .

Якщо треба записати розв’язок задачі Коші, то записують так . З умови визначають . Отже – розв’язок задачі Коші , . При даних припущеннях особливих розв’язків диференціальне рівняння не має.

ДР1п вигляду , де – неперервні функції, називають рівнянням з відокремлюваними змінними. Запишемо його у вигляді і відокремимо змінні, вважаючи, що в області, яка розглядається. Дістанемо рівняння . Проінтегрувавши обидві частини рівняння, одержимо: або , де – деяка первісна функції , а – первісна функції . Таким чином, знайдено загальний інтеграл рівняння.

Такі рівняння можна записати також у вигляді: