33.Похідна за напрямком. Градієнт скалярного поля
Для характеристики зміни скалярного поля в заданому напрямі вводять поняття похідної за напрямом.
Виведемо формулу для обчислення похідної за напрямом . припустимо , що функція u(x;y;z) диференційована в точці M. Тоді її повний приріст в цій точці можна записати так:
д
е
нескінченно малі функції при
.
то
П ерейшовши до границі при ,дістанемо формулу для обчислення похідної за напрямом
З формули випливає, що частинні похідні є окремими випадками похідної за напрямом.
Градієнт — векторна величина, яка визначає в кожній точці простору не лише швидкість зміни, а й напрямок найшвидшої зміни функції, що залежить від координат.
Для
скалярного поля
градієнт визначається формулою:
де i, j, k - орти системи відліку.
34.Поняття локального екстремуму функції багатьох змінних. Необхідна умова існування.
Нехай функція u =f ( x ) =f ( x1,x2 ,...,xn ) визначена на множині R, а т. M0– деяка точка цієї множини.
Означення. Точка M називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції y =f ( x ) , якщо існує такий окіл O ( M0 ) точки M0, що належить множині E , що для будь-якої точки M( x 1,...,x n)
із цього околу виконується нерівність f ( M )≤ f ( M0 ) (f ( M )≥f ( M0 )).
Теорема (Необхідна умова існування локального екстремуму функції).
Якщо функція u =f ( x 1,x 2,...,x n) диференційована в т. M 0 ( x 1,...,x n) і має локальний
екстремум в цій точці, то всі її частинні похідні першого порядку дорівнюють нулю в точці M0 або не існують.:
35.Локальний екстремум. Достатні умови існування.
Нехай
z= f(x,y) визначена в області D, а точка 
.
Якщо існує окіл точки M0,
який належить D і для усіх 
,
то точку M0 називають точкою
локального максимуму (мінімуму) функції
f(x,y),
а число f(M0) - локальним
максимумом (мінімумом) цієї
функції. Точки максимуму та мінімуму
функції називаються їїточками
екстремуму (>,
< - строгий, 
-
нестрогий).
Нехай в стаціонарній точці M0(x0;y0) і деякому її околі функція f(x,y) має неперевні частинні похідні другого порядку. Якщо Δ(x0,y0) = f''xx(x0,y0)f''yy(x0,y0) + (f''xy(x0,y0))2 > 0, то ф-ція f(x,y) в точці M0(x0;y0) має екстремум, причому максимум при f''xy(x0,y0) < 0 і мінімум при f''xy(x0,y0) > 0. Якщо Δ(x0,y0) < 0, то в точці M0(x0;y0) екстремуму немає, при Δ(x0,y0) = 0 потрібно досліджувати додатково.
36. Квадратичні форми. Критерій Сильвестра знаковизначеності.
О. 1 Квадратичною формою двох змінних x1 , x2 називається однорідний многочлен другого степеня вигляду:
L (x1 , x 2 ) = a11 x12 + 2a12 x1 x 2 + a 22 x22 , (1)
де
,
,
‒
задані числа.
З квадратичною формулою пов’язується її матриця A.
A=
.
Головні кутові мінори матриці A.
Введемо
позначення 
= (x1
, x2)
, тоді L
(x1
, x
2
) = L
(
)
і дамо деякі означення.
О.2.
Квадратична форма L
(
)
називається додатно визначеною, якщо
L
(
)
0,
0.
Квадратична
форма L
(
)
називається від’
ємно визначеною, якщо L
(
)
0,
0.
Квадратична форма L ( ) називається знакозмінною, якщо L ( ) змінює знак в
залежності від значень = (x1 , x2 ) 0 .
Додатно визначені та від’ ємно визначені квадратичні форми називаються
знаковизначеними.
Т. (критерій Сильвестра знаковизначеності квадратичної форми).
Для того, щоб квадратична форма L ( ) була додатно визначеною, необхідно та достатньо, щоб усі її головні кутові мінори були додатними; для того, щоб квадратична форма L ( ) була від’ ємно визначеною, необхідно та достатньо, щоб головні кутові мінори парного порядку були додатні, а непарного – від’ ємні, тобто △1 0, △2 0 .
Вся наведена теорія розповсюджується на квадратичні форми n змінних x1 x 2 ,..., xn, тобто L ( x1 x 2 ,..., xn ) .