29. Диференціал функції багатьох змінних, наближене обчислення за допомогою повного диференціалу.

z = f(x,y) задано в R². Т. М₀(х₀, у₀) є D з деяким околом. Надаємо приростів ∆х і ∆у аргументам х₀, у₀ так, щоб одержана т. М (х₀+∆х; у₀+∆у) околу т. М₀.

Повним приростом функції z = f(x,y) в т. (х₀, у₀) називається різниця:

∆f(х₀, у₀) = f(х₀+∆x, у₀+∆y)-f(х₀, у₀)

∆f(х₀, у₀) = f(M)-f(M₀)

∆х = x-x₀, ∆у = y-y₀

f(x,y) – диференційована в т. (х₀, у₀), якщо існують такі сталі А і В, що повний приріст функції представляється у вигляді:

А*(х-х₀)+В*(у-у₀)+о(ρ), о(ρ)→0 при ρ→0: ρ= т. (х, у), що околу т. (х₀, у₀)

∆f(х₀, у₀) = А*∆x+В*∆y+о(ρ), ρ→0

Головна частина повного приросту функції лінійна відносно приростів аргументів ∆х і ∆у – диференціал функції z = f(x,y) в т. (х₀, у₀) і позначається:

df(х₀, у₀) = А*∆x + В*∆y

За означенням диференціалами аргументів називаються прирости аргументів, тобто:

dx = ∆х, dy = ∆у

З теореми про достатню умови диференційованості отримаємо

f(x,y) - f(х₀, у₀) = *∆x + *∆y+о(ρ), ρ→0, оскільки ρ→0 то о(ρ)=0

f(x,y) = f(х₀, у₀) + *∆x + *∆y – формула за допомогою якої наближено знаходимо значення f(x,y) в довільній точці (x,y) за її значенням в (х₀, у₀)

30. Похідна та диференціал вищих порядків.

функції z=f(x,y) визначена і диференційована в області D(DєR²) ; (x,y) є D Якщо частинні похідні як функції будуть диференційовані в області D, то частинні похідні а також ці похідні називаються частинними похідними від f(x,y) другого порядку

Якщо функція f(x,y) двічі неперервно диференційована то мішані частинні похідні другого порядку не залежать від порядку диференціювання. За індукцією:

Диференціалом функції другого порядку називають диференціалом від її першого диференціала

символічно:

За індукцією:

31. Диференціювання складеної функції. Повна похідна.

Функція f(x)=f(x₁, x₂,…, x_n) диференційована в точці x⁰=(x₁⁰,…, x_n⁰)

тоді

Теорема

Якщо функції диференційовані в точці t₀ є T , а функція z=f(x;y) диференційована в точці (x₀;y₀), (x₀;y₀)єDєR², то їх суперпозиція

диференційована в точці t₀ і має місце виконання рівності:

Повна похідна: сума добутків частинних похідних –

32. Існування та диференціювання неявно заданої функції.

Якщо функція F(x;y), що визначена і диференційована в області D(DєR²), точка (x₀;y₀)єD, F(x₀;y₀)=0, а частинна похідна то можна вказати такий інтервал (x₀-h;x₀+h) в якому розв’язок рівняння F(x;y) =0: y=y(x): F(x;y(x)) , при чому функція y=y(x) диференційована в точці x₀ то похідна

Теорема встановлює умови при яких рівняння F(x;y) =0 визначає функцію y=y(x) диференційовану в точці x₀

Диференційована функція F(x;y) в точці (x₀;y₀)єD означає ; в цій точці або

*

Факт існування функції y=y(x), F(x;y(x)) приймемо без доведення

Надаємо приріст аргументу ) цей приріст викличе приріст функції y=y(x) і одержимо точку За умовою F(x₀;y₀)=0, то F(

Віднімемо від першої рівності другу тотожність і отримаємо:

F(x₀;y₀)= F( - F(x₀;y₀)

Поділимо рівність * на

0= перейдемо в другій частині до границі при

У випадку функції z=f(x,y) двох залежних, що задана неявно F(x,y,z)=0, вважаючи:

1) у – стала

2) х – стала