27. Поняття функції багатьох змінних, її області визначення та значень, графік. Границя функції та її неперервність. Рівняння лінії та поверхні.

Нехай в області D площини ХОУ кожній точці за певним законом відповідає точка u із області G.

Відображення деякої області Х в Rⁿ в деякий відрізок Т називають функцією, визначеною в множині Х зі значеннями в Т.

u = f(x₁, x₂,…,x_n). Цю функцію позначають також u=f(x), де x – точка із Х Rⁿ.

Множина точок Х – область визначення, а Т – множина значень.

У випадку n=2, функцію 2-ох змінних х і у позначають як z=f(x,y).

Область визначення є областю D в ХОУf: D→^fT=[a; b].

Завдяки даному позначенню як u = f(x)= f(x₁, x₂,…,x_n) багато понять та тверджень теорії функцій багатьох змінних формулюються аналогічно до відповідних понять в теорії функцій 1 змінної.

Графіком функції u = f(x)= f(x₁, x₂,…,x_n) – є множина точок (x₁, x₂,…,x_n) Rⁿ⁺¹.

Нехай u = f(x)= f(x₁, x₂,…,x_n) визначена в деякому околі т. х_0, крім можливо самої точки.

Число b називають границею f(x) при x → x⁰ 0 δ >0: х: |х-х⁰|<δ → |f(x) - b|< .

У випадку n = 2, , якщо >0 Ȯ(х⁰, у⁰), (х, у) є Ȯ(х⁰, у⁰) → |f(x) - b|< .

Коли f(x⁰-0) = f(x⁰+0) → існує .

Той факт, що існує означає, що функція не залежить від форми шляху, по якому точка (х, у) прямує в точку (х₀, у₀).

Функція u = f(x)= f(x₁, x₂,…,x_n) – неперервна в т. х⁰ = (х₁⁰, х₂⁰,…, х_n⁰), якщо вона визначена в цій точці, існує і .

Функція – неперервна в замкненій, обмеженій області, якщо вона неперервна в кожній її точці.

При n = 3 z=f(x,y) в R³називають поверхнею. В R³ будь-яке рівняння відносно 2-ох змінних описує циліндричну поверхню, напрямною якої служить крива f(x, y) = 0 в XOY, а твірна паралельна відсутній в рівнянні осі.

Для дослідження та побудови поверхні в R³і в Rⁿ використовують лінії рівня або гіперповерхні рівня.

z = f(x,y) – лінія рівня f(x,y) = Const

або u = f(x)= f(x₁, x₂,…,x_n), f(x,y) = Const.

28. Поняття дифенційованості функції в точці. Необхідна та достатня умова диференційованості функції в точці.

z = f(x,y) задано в R². Т. М₀(х₀, у₀) є D з деяким околом. Надаємо приростів ∆х і ∆у аргументам х₀, у₀ так, щоб одержана т. М (х₀+∆х; у₀+∆у) околу т. М₀.

Повним приростом функції z = f(x,y) в т. (х₀, у₀) називається різниця:

∆f(х₀, у₀) = f(х₀+∆x, у₀+∆y)-f(х₀, у₀)

∆f(х₀, у₀) = f(M)-f(M₀)

∆х = x-x₀, ∆у = y-y₀

f(x,y) – диференційована в т. (х₀, у₀), якщо існують такі сталі А і В, що повний приріст функції представляється у вигляді:

А*(х-х₀)+В*(у-у₀)+о(ρ), о(ρ)→0 при ρ→0: ρ= т. (х, у), що околу т. (х₀, у₀)

∆f(х₀, у₀) = А*∆x+В*∆y+о(ρ), ρ→0

Головна частина повного приросту функції лінійна відносно приростів аргументів ∆х і ∆у – диференціал функції z = f(x,y) в т. (х₀, у₀) і позначається:

df(х₀, у₀) = А*∆x + В*∆y

За означенням диференціалами аргументів називаються прирости аргументів, тобто:

dx = ∆х, dy = ∆у

Необхідна умова диференційованості f(x,y) в точці:

• Якщо z = f(x,y) визначена в т. (х₀, у₀) та її околі і диференційована в ній, то в т. (х₀, у₀) існують частинні похідні і і число А = , В = .

Доведення:

За умовою f(x,y) диференційована в т. (х₀, у₀), тобто має місце рівність:

∆f(х₀, у₀) = А*∆x + В*∆y+о(ρ), ρ→0

Розглянемо цю рівність зафіксувавши у: у=у_0.

Одержимо ∆f(х₀, у₀) = ∆_хf(х₀, у₀) = f(х₀+∆x, у_{0) -} f(х₀, у₀) = А*∆x + В*0+о(|∆х|), ∆х→0.

Розділимо обидві частини отриманої рівності на ∆x і розглянемо lim:

Існування lim в правій частині рівності забезпечує існування lim в лівій частині, яка означає частинну похідну функції по х в т. (х₀, у₀).

Аналогічно, фіксуючи х = х₀, одержимо .

Доведено.

Теорема (достатня умова)

• Якщо z = f(x,y) в т. (х₀, у₀) має частинні похідні і і вони неперервні в цій точці, то f(x,y)диференційована в т. (х₀, у₀).

З даних теорем слідує, що повний приріст диференційованої в т. (х₀, у₀) функції f(x,y) т. (х, у) з околу М₀ слідує:

f(x,y) - f(х₀, у₀) = *∆x + *∆y+о(ρ), ρ→0

або f(x,y) - f(х₀, у₀) = + , ρ→0