9. Інтегрування деяких тригонометричних виразів

Інтеграли вигляду , де R – раціональна функція від і за допомогою підстановки зводять до інтегралів від раціональних функцій. При цьому:

; ;

Таку підстановку називають універсальною тригонометричною підстановкою. З її допомогою зручно знаходити інтеграли вигляду

Зауважимо, що універсальна підстановка часто приводить до раціональних дробів з великими степенями. Тому в багатьох випадках використовують інші підстановки. Наведемо деякі з них.

1. раціоналізуємо підстановкою , якщо функція епарна відносно або підстановкою , якщо функція непарна відносно , або підстановкою , якщо функція парна відносно і одночасно;

2. знаходимо підстановкою , якщо m – ціле додатне непарне число, або підстановкою , якщо n – ціле додатне непарне число, а також за допомогою формул пониження степеня: , якщо m,n – цілі додатні парні числа; коли ж m,n – цілі парні числа, але хоча б одне з них від’ємне, то застосовуємо підстановку ; таку ж підстановку використовуємо у випадку, коли числа m,n – цілі непарні від’ємні.

10. Поняття визначеного інтегралу Рімана та його геометричний зміст

Нехай функцію f(x) визначено на відрізку .

Розіб’ємо його на n частин точками і виберемо на кожному з відрізків довільну точку . Знайдемо значення функції у цій точці і складемо суму

Цю суму називають інтегральною сумою функції f(x) на відрізку .

Геометричний зміст визначеного інтеграла. Визначений інтеграл задає площу криволінійної трапеції, обмеженої вертикальними прямими x=a і x=b, якщо a , віссю Ox і графіком неперервної і невід’ємної функції y=f(x).

11. Означення визначеного інтегралу. Необхідна та достатня умови існування інтегрованості функцій

Визначеним інтегралом від функції f(x) на відрізку [a,b], називається границя інтегральної суми при умові, що довжина найбільшого із елементарних відрізків прямує до нуля

Необхідна та достатня умови

Якщо f(x) визначена на [a, b] і [a,b] ділиться на n частин

a=

і дорівнює числу (існує , то існує інтеграл Рімана

12. Лінійність, монотонність та адитивність визначеного інтегралу

Лінійність.

Якщо функція f(x) і g(x)інтегровані на відрізку [a, b], то інтегрованими також є Cf(x), C-довільна стала.

f(x)±g(x) ,причому

твердження слідує із властивості границь та означення визначеного інтегралу

Адитивність.

Якщо f(x) інтегрована на [a, b], то , функція f(x) буде інтегрована на [a, c] [c, b]

І справедлива рівність

Зауваження

Теорема справедлива і у випадку, коли т. С лежить поза [a, b], а функція є інтегрованою на [a, b] і [b, c]

Наслідок

Якщо функція f(x) , то

Монотонність

Якщо всюди на відрізку [a;b] маємо , то

13. Теорема про оцінку інтеграла Рімана

Якщо функція f(x) інтегрована на [a, b], то т. М такі

m )≤

Доведення

Із інтегрованості функції f(x) за необхідною умовою слідує її обмеженість

т. M: m≤f(x)≤M x [a, b]

За всластивістю 3 та лінійністю і пунктом 4 одержимо