5.Інтегрування елементарних раціональних дробів і-ііі типів
I
dx=A
=
A ln[x-a]+C
II
dx=A
d(x-a)=
A 
+C
III
dx=
dx=
dx=
x2+px+q=x2+2x
+
-
+ q= (x+
)2
-
- q) = ( x+
)2
+
m2;
m2=
- (
-
q)
Заміна змінної
x+ =t
x= t –
dx=dt
=
=M
+(-M
+N)
=
+
(N-
) = 
arctg 
+C = 
ln(x2+px+q)
+ ( N-
)
arctg
+C
Аналогічно обчислюється інтеграл типу ІІІ у якому у знаменнику стоїть квадратний корінь з з квадратного тричлена
6. Рекурентна формула. Обчислення інтегралів іv типу
Рекурентна
формула
In=
= 
dx=
- 
=
Заміна змінної
u=x
dv=
du=dx
v=
=
=
= 
dx=
+C= 
(x2+a2)-n+1
;
=
In-1-
[
-
In=
In-1-
* 
+ 
* In-1
1+
= 
In=
In-1-
*
Обчислення
інтегралів IV типу
dx=
x2+px+q=x2+2x
+
-
+ q= (x+
)2
-
- q) = ( x+
)2
+
m2
Заміна змінної
x+ =t
x= t –
dx=dt
=
dt
= M
+
(N- 
)
= 
+(N-
)
=
*
* 
+ (N-
)
7. Інтегрування правильних та неправильних раціональних дробів
Правильний
раціональний дріб 
єдиний спосіб представлення у вигляді
лінійної комбінації елементарних дробів
типу I-IV. Схема представлення рац. дробу
у вигляді лінійної комбінації:
1. Переконатись, що дріб правильний 2. Знаменник дробу Рn(х) розкласти на множники
3. Записуємо лінійну комбінацію елементарних дробів з невизначеними коефіцієнтами для випадків, що визначаються типом коренів знаменник
а) Рn(х) = (х – х1)* (х-х2)…(х-хn) , (а0=1) тобто має n різних дійсних коренів х1, х2, хn…
Розклад
= 
+ 
+…+ 
б) в) Серед коренів знаменника Рn(х) є різні та кратні і комплексні корені – прості та кратні
Нехай
Рn(х)
має дійсні корені – х1
та х2
– прості; х3
та х4
– кратні 
відповідно та пару комплексних спряжених
коренів х5,6
кратності
В розкладі
многочлена парі комплексних коренів
відповідає квадратний тричлен (x2+px+q)
в якого Д=
- q<0
Тоді розклад многочлена на множники
Рn(х)
= = (х – х1)*
(х-х2)*
*
*(x2+px+q)s
Розклад правильного дробу
m<n
= 
+ 
+
+ 
+ 
+
+
+
+ 
+ 
Коефіцієнти цих дробів шукаємо за методом невизначених коефіцієнтів:
1.Обидві частини розкладу зводимо до спільного знаменника Рn(х)
2. В одержаних рівних дробах ( рівні знаменники) тотожно прирівнюємо чисельники
3. в тотожно рівних многочленах прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х. Одержимо систему лінійних рівнянь відносно невідомих коеф. При цьому якщо є дійсні корені знаменника варто їх використовувати( спростить розв’язання).
ТЕОРЕМА: будь-який раціональний дріб інтегрується в елементарних функціях.
8. Інтегрування ірраціональних виразів
1.
Інтеграли вигляду 
зводять
до табличних шляхом виділення повного
квадрата у підкореневому виразі та
підведенні під знак диференціала частини
підінтегрального виразу.
2.
Інтеграли вигляду 
знаходять
за допомогою тригонометричної підстановки
або
.
3.
Інтеграли вигляду 
знаходять
за допомогою підстановки 
або
.
4.
Інтеграли вигляду 
зручно
знаходити інтегруванням частинами
після переведення радикалів у знаменник.