45. Лінійно залежні та незалежні системи функцій. Вронскіан та його властивості.

• Система функцій φ₁(х),φ₂(х)....φ_n(x) визначених і неперервних на [a,b] наз. лінійно-залежною на [a,b], якщо їх лінійна комбінація з α₁ φ₁(х)+ α₂ φ₂(х).... α_nφ_n(x)≡0 (для будь-якого х з [a,b] і хоча б один із коефіцієнтів α-від'ємне від нуля.)

• Система функцій наз. лінійно-незалежною на [a,b], якщо їх комбінація з α₁ φ₁(х)=0

• Визначником Вронського для системи (n-1) диф. функцій φ₁(х),φ₂(х)....φ_n(x) на [a,b] наз. детермінантом n-го порядку.

ǀφ₁(х),φ₂(х)....φ_n(x) ǀ

W(x)= ǀφ₁(х),φ₂(х)....φ_n(x) ǀ W[φ₁(х),φ₂(х)....φ_n(x)]

ǀ............................. ǀ

ǀφ₁^(n-1)(х),φ₂^(n-1)(х)....φ_n^(n-1)(x) ǀ

45. Олдр n-го порядку: теорема про структуру загального розв’язку.

Загал. Розв. n-го порядку з неперервним на [a,b] коеф. являє собою лінійну комб. З довільними сталими n- частинних розв. рівн , які склад. ФСМ цього рівн.

45. Розв’язування олдр зі сталими коефіцієнтами.

Метою Ойлера знаходження загального розв. ОЛДР n-го порядку зі сталими коефіцієнтами.

за методом Ойлера розв'язком р-ня

y⁽ⁿ⁾+p₁y^(n-1) +...+p^(n-1)y′+p_ny=0

y=e^kх, k-невідома стала

в р-ння: y′=ke^kх, y″=k²e^kx....y⁽ⁿ⁾=kⁿe^kx

e^kх [kⁿ + p₁k^n-1+p_n-1k+p_n]=0

kⁿ + p₁k^n-1+p_n-1k+p_{n =}0 n-го степеня наз. характеристичним р-нням, це р-ння має рівно n-коренів дійсних або комплексних, якщо кожен корінь рахувати стільки разів яка його кратність.

y= e^kх , буде розв. диф.р-ння, якщо k розв. характеристичного р-ння.

48. Нлдр n-го порядку, структура загального розв’язку та принцип суперпозиції.

Якщо  - розв’язок лінійного однорідного рівняння,  - розв’язок неоднорідного рівняння, то  буде розв’язком лінійного неоднорідного диференціального рівняння.

Дійсно, нехай  і  - розв’язки відповідно однорідного і неоднорідного рівнянь, тобто

Тоді

тобто  - розв’язок неоднорідного диференціального рівняння.

Принцип суперпозиції  Якщо  - розв’язки лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь

,  ,

то  з довільними сталими  буде розв’язком лінійного неоднорідного рівняння

Дійсно, нехай  - розв’язки відповідних неоднорідних рівнянь, тобто

Склавши лінійну комбінацію з рівнянь і їхніх правих частин з коефіцієнтами одержимо

або, перегрупувавши, запишемо

що і було потрібно довести.

49. Знаходження частинного розв’язку лндр за методом Лагранжа та за методом невизначених коефіцієнтів (для випадку рівнянь зі сталими коефіцієнтами).

Метод варіації постійних

Якщо спільне рішення y0 асоційованого однорідного рівняння відомо, то загальне рішення неоднорідного рівняння можна знайти, використовуючи метод варіації постійних.

Нехай спільне рішення однорідного диференціального рівняння другого порядку має вигляд:

Замість постійних C1 і C2 будемо розглядати допоміжні функції C1 (x) і C2 (x). Будемо шукати ці функції такими, щоб рішення

задовольняло неоднорідного рівняння з правою частиною f (x).

Невідомі функції C1 (x) і C2 (x) визначаються з системи двох рівнянь:

Метод невизначених коефіцієнтів

Права частина f (x) неоднорідного диференціального рівняння часто є многочлен, експонентну або тригонометричну функцію, або деяку комбінацію зазначених функцій. У цьому випадку рішення зручніше шукати за допомогою методу невизначених коефіцієнтів.

Підкреслимо, що даний метод працює лише для обмеженого класу функцій у правій частині, таких як

  де Pn (x) і Qm (x) - многочлени ступеня n і m, відповідно.

В обох випадках вибір приватного рішення повинен відповідати структурі правій частині неоднорідного диференціального рівняння.

У разі 1, якщо число α в експоненційної функції збігається з коренем характеристичного рівняння, то приватне рішення буде містити додатковий множник xs, де s - кратність кореня α в характеристичному рівнянні.

У випадку 2, якщо число α βi збігається з коренем характеристичного рівняння, то вираз для приватного рішення буде містити додатковий множник x.

Невідомі коефіцієнти можна визначити підстановкою знайденого виразу для приватного рішення у вихідне неоднорідне диференціальне рівняння.

50. Числові ряди: поняття суми, збіжності, розбіжності. Достатні ознаки збіжності додатних числових рядів: порівняльна, Даламбера та Коші. Властивості збіжних числових рядів. Необхідна ознака збіжності.

Ряд вигляду

називається додатним, якщо всі його члени невід'ємні

Для того, щоб визначити чи ряд збіжний чи розбіжний в літературі зібрані правила, які дозволяють це швидко. Розглянемо по черзі ознаки збіжності числових рядів.

Ознака порівняння

Розглянемо два ряди з додатними членами

 1. Якщо члени ряду   не більші відповідних членів   збіжного ряду    ( ), то ряд  збігається. Якщо кожний член ряду   більший (або рівний) відповідного члена розбіжного ряду  , то ряд   розбігається.

Гранична ознака порівняння

Нехай ряди  та   додатні, а також існує скінчена границя

Причому    , тоді обидва ряди або одночасно збіжні, або одночасно розбіжні.

Ознака Даламбера

Нехай члени ряду додатні і відношення  -го члену до  -го має Якщо , то ряд збігається. Якщо   - ряд розбігається.

При  треба застосовувати іншу ознаку збіжності

Радикальна ознака Коші

Якщо для ряду   з додатними членами існує границя

то при   ряд збіжний, а при   - розбіжний. При  потрібно застосовувати іншу ознаку збіжності.

5