40. Однорідні функції та однорідні др і-го порядку.

Означення. Функція називається однорідною функцією n-го порядку щодо змінних х і у, якщо при будь-якому t справедлива тотожність

.

Однорідне диференціальне рівняння має вигляд:

.

Для розв’язання таких рівнянь робиться заміна , тобто ми від функції y переходимо до функції z. Очевидно, що y = xz.

Диференціюємо цю рівність по х, вважаючи z функцією залежною від x,

.

Підставляємо у рівняння і одержуємо:

, яке очевидно є рівнянням з відокремленими змінними.

41. ЛДР І-го порядку, рівняння Бернуллі.

Лінійне рівняння 1-го порядку має вигляд – y’+P(x)y=Q(x) - канонічний вигляд, P, Q є CI (I = (a,b)). Якщо Q(x)0, то це – лінійне неоднорідне рівняння 1-го порядку (ЛНР1п), Q(x)0 – тоді y’+P(x)y=0 – лінійне однорідне рівняння 1-го порядку.

Рівняння типу Бернуллі має вигляд – y’+P(x)y=Q(x)yn, P,Q є CI, n¢{0,1} 1) Заміною y1-n=z зводиться до ЛНР1п; 2) Розв’язок шукається методом Бернуллі: y=uv  v(u’+P(x)u)+uv’=Q(x)unvn. U вибираємо з умови u’+P(x)u=0.

42. ДР ІІ-го порядку: загальний вигляд, задача Коші, її геометричний зміст. Поняття загального та частинного розв’язків. Теорема Коші.

У загальному випадку ДР другого порядку має вигляд - F(x, y, y, y) = 0.

ДР другого порядку, розв’язане відносно старшої похідної - y= f(x, y, y).

Загальний розв’язок рівняння містить дві довільні сталі С₁ та С₂ і має вигляд

у = (х₁, С₁, С₂).

За рахунок вибору довільних сталих С₁, С₂ можна розв’язати задачу Коші, яка полягає в знаходженні частинного розв’язку у = у(х) ДР, що задовольняє початкові умови

у(х₀) = у₀, у(х₀) = у₀.

Задача Коші.

Розглянемо диференціальне рівняння (4.2) і поставимо задачу Коші: серед всіх розв'язків диференціального рівняння (4.2) знайти такий y=y(x), який задовольняє умовам

,

де – задані числа, x₀ – початкове значення незалежної змінної, y₀,y₀¹, …y₀^n-1 –початкові данні.

Для диференціального рівняння другого порядку

задача Коші заключається в тому, щоб знайти такий розв'язок диференціального рівняння який би задовольняв умовам

, .

Геометрично задача Коші полягає в тому, щоб знайти таку криву y=y(x), яка задовольняє диференціальне рівняння (4.17), проходить через точку M(x₀,y₀) і має заданий напрямок дотичної (мал. 4.2)

Загальний та частинний розвязки

Сукупність n функцій визначених в деякій області зміни змінних x, c₁,..c_n і які мають неперервні частинні похідні за x, будемо називати загальним розвязком системи в області D, якщо систему можна розвязати відносно c₁,..c_n

Розвязок системи диференціальних рівнянь називається частинним якщо він складається з точок єдиності розвязку задачі Коші. Його можна отримати при конкретних сталих, включаючи ± ∞.

Теорема (Коші). Для існування невизначеного інтеграла для функції f(x) на певному проміжку достатньо, щоб f(x) була неперервною на цьому проміжку.

43. ДР ІІ-го порядку, що дозволяють зниження порядку.

Розглянемо прості випадки, коли вдається знизити порядок ДР другого порядку і звести його до ДР першого порядку.

1. У диференціальному рівнянні відсутня шукана функція у(х)

ДР виду F(x, y, y, y) = 0 не містить шуканої функції у. Отже, можна знизити порядок рівняння, узявши

y = z, y = z.

При цьому дістанемо ДР першого порядку

F(x, z, z) = 0.

Якщо буде знайдено загальний розв’язок цього рівняння z = z(x, C₁), то знайдемо і розв’язок ДР :

у = z(x, C₁)dx + C₂

2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ НЕ МІСТИТЬ ЯВНОГО АРГУМЕНТУ

Порядок ДР

F(y, y, y) = 0

можна знизити, якщо за нову незалежну змінну взяти у, а за шукану залежну змінну: z = y. Маємо:

Початкове ДР другого порядку зводиться до ДР першого порядку

Якщо буде знайдено розв’язок цього рівняння z = z(y, C₁), то для відшукання загального розв’язку початкового ДР дістанемо рівняння

44. ЛДР n-го порядку, задача Коші. Властивості розв’язків СЛДР n-го порядку.

ЛДР n-го порядку, задача Коші.

Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду

, (1)

де , i = 1,2,…, n , f(x) – задані функції, неперервні на (a,b).

Основною задачею є розв’язок р-ння y=y(x), що задовольняє умови

(Задача Коші)

Цей розв’язок визначений і n раз неперервно диференційований на (a,b).

Властивості розв’язків СЛДР n-го порядку.

1. Якщо y(x) є розв'язком СЛДР n-го порядкуз неперервними на відрізку [a,b] коефіцієнтами, то для будь-якого α=const функція αy=(x) є розв'язком цього рівняння.

2. Якщо y₁(x), y₂(x) є розв'язком СЛДР то їх y₁(x) ±y₂(x) є також розв'язком

3. Якщо y₁(x), y₂(x)...yn є розв'язком CЛДР то їх лінійна комбінація є розв'язком.