1. Первісна функції: означення та властивості.

Визначена на числовій множині X функція f(x) називається первісною для функції f(x) для всіх x є X. Якщо F`(x)= f(x) для всіх x є X.

Теорема:Будь які 2 первісні для f(x) ( при x єX) відрізняються на сталу. ТобтоF(x)=G(x)+C

Наслідок: Якщо функція має первісну, то їх безліч.

Властивості первісних:

1. F(x) є первісною дляf(x)xєX, α – стала, функція αF(x) є первісною для αf(x) для всіх x є X.

При множенні функції на константу αїї первісна множиться наα, сталий множник виноситься за знак інтеграла( ∫)

2. Якщо функціїF(x) iG(x) є первісними відповідно для функцій f(x)іg(x) для всіхx є X, то для будь-яких αiβ–сталихфункція αF(x) + βG(x) є первісною для αf(x) + βg(x) i

∫[αf(x)+βg(x)]dx=α∫f(x)dx+β∫g(x)dx

2. Невизначений інтеграл: означення та властивості.

Сукупність всіх первісних {F(x)+C} для функціїf(x) (для всіх x є X) називається невизначеним інтегралом для функції f(x) на множиніX.

Позначення:

∫f(x)dx={F(x)+C}

F ` (x) = f(x) ,xє X

f(x)dx - підінтегральний вираз

f(x) - підінтегральна функція

З геометричної точки зору, невизначений інтеграл являє собою сукупність кривих, отриманих зсувом первісної F(x) вздовж осі Оу.

Функція називається інтегрованою на Х, якщо для неї існує невизначений інтеграл.

Властивості невизначеного інтегралу:

1. ∫dx=x+C

2. ∫dF(x)=F(x)+C

3. d∫f(x)dx=f(x)dx

3. Заміна змінної в невизначеному інтегралі.

Теорема:

Якщо функціяx=φ(t) диференційована на числовій множиніT, а функція y=f(x) має первіснуF(x) на числовій множиніX, при чому φ→T→X, то функціяF(φ(t)) є первісною f(φ(t))φ`(t), t є T,

то ∫f(φ(x)*φ`(t)dt = F(x)|_{x= φ(t)} +C

або ∫ f(x) dx|_x=φ(t) =F(x) |_x=φ(t) +C

Формула заміни змінної:

∫f(x)dx|_x=φ(t) = ∫t(φ(t))φ`(t)dt

4. Інтегрування частинами, типи функцій, що інтегруються частинами. Розклад многочленів на множники та правильних раціональних дробів у вигляді суми елементарних дробів.

Теорема: якщо функціїu(x) iv(x) диференційовані на Х і є ∫v(x) * u`(x)dx, то має місце формула:∫ u(x)v`(x)dx=u(x)*v(x)-∫v(x)*u`(x)dx

Формула інтегрування частинами: ∫udv=u*v-∫vdu

Типи:

1. ∫Pn (x) *sinαxdx, α – стала

∫Pn(x)cosαx dx

∫Pn(x)*e^αx dx

u=Pn(x)

dv – все решта

2. ∫Pn (x)*ln(x)dx

∫Pn (x)* arcsin(x)dx

∫Pn (x)* arctg(x)dx

∫Pn (x)*arccos(x)dx

∫Pn (x)* arcctg(x)dx

dv – Pn (x) dx

u – все решта

3. Інтеграли, обчислення яких зводиться до рівняння відносно шуканого інтегралу

∫e^αx * cosβx dx

α, β –сталі

∫cos(lnx)dx

∫sin(lnx)dx

Будь-який многочлен n–го степеня (Pn(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+) з дійсними коефіцієнтами може бути представлений у вигляді a₀(x-x₁)^α1(x-x₂)^α2…(x-x_k)^αk(x²+p₁x+q₁)^β1(x²+p₂x+q₂)^β2…(x²+р_sx+q_s)^βs, де x₁,x₂…x_k– дійсні корені многочлена Pn(x) кратності відповідно α₁, α₂, α_k.Pn(x_i)=0, i=

Многочлени x²+p₁x+q₁ ; x²+p₂x+q₂ ;…; x²+р _sx+q_s- є квадратні тричлени такі, що - ˂0, j=

Раціональний дріб є правильним, якщо m˂n.

1. ЯкщоPn(x)=(x-x₁)(x-x₂)…(x-x_n), a₀=1.Розкладмаєвигляд: + +…+

2. ЯкщоPn(x)= (x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)^α3(x²+px+q)^s

Розклад має вигляд:

+ + + +…+ + +…+