24. Криволинейные интегралы по замкнутому контуру. Формула Грина.

Криволинейным интегралом II рода от функций   и   по плоской кривой   от точки   к точке   называют предел ,  где точки   – точки, которые разбивают участок кривой   от точки   до точки   на   частей, а   и   – приращения соответствующих координат при переходе от точки   к точке  . Криволинейный интеграл II рода обозначают:  или  . Направление по кривой   от точки   до точки   называется направлением интегрирования. Если кривая   пространственная, то криволинейный интеграл II рода от трех функций  ,  ,   определяется аналогично:

Формула Грина

Пусть в плоскости   дана ограниченная замкнутым контуром   правильная область  , причем ее проекцией на ось   является отрезок  , снизу область  ограничена кривой  , а сверху – кривой   (в совокупности эти кривые составляют замкнутый контур  ). Пусть также в области   заданы непрерывные функции   и  , имеющие непрерывные частные производные. Тогда, если обход контура   совершается против часовой стрелки, справедлива следующая формула:  .

25. Криволинейные интегралы первого и второго рода.

Криволинейный интеграл первого рода

Свойства

1. Линейность:

2. Аддитивность: если   в одной точке, то

3. Монотонность: если   на  , то

4. Теорема о среднем для непрерывной вдоль   функции  :

Очевидно, что:  .

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла:  .

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Вычисление

Пусть   — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция   определена и интегрируема вдоль кривой   в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

.

Здесь точкой обозначена производная по  :  .

Криволинейный интеграл второго рода

Свойства

1. Линейность:

2. Аддитивность:

3. 

Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.

Вычисление

Пусть   — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция   определена и интегрируема вдоль кривой   в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

,

,

.

Если обозначить за   единичный вектор касательной к кривой  , то нетрудно показать, что

26. Формула Остроградского-Гаусса.

Формула Остроградского-Гаусса — математическая формула, которая выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью:

то есть интеграл от дивергенции векторного поля  , распространённый по некоторому объёму  , равен потоку вектора через поверхность  , ограничивающую данный объём.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности.

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

где   и   — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. В современной записи   — элемент объёма,   — элемент поверхности.   — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем