10. Частотный метод исследования систем управления. Комплексный коэффициент передачи линейной системы управления. Частотные характеристики аср.

Математической основой частотного метода анали­за качества автоматических систем является преобразование Фурье. Этот метод сочетает аналитические вычисления и графические по­строения.

Так как при анализе качества процесса управления применяются те же частотные характеристики, что и при исследовании устойчиво­сти, то частотный метод представляет собой единый метод анализа ди­намики автоматических систем. При этом используется аналитическая зависимость между переходной и частотной функциями замкнутой системы.

Комплексный коэффициент передачи линейного звена – это отношение комплексной амплитуды сигнала, снимаемого с выхода звена, к комплексной амплитуде сигнала, поданного на его вход:  

Здесь Y(jw) – комплексная амплитуда выходного сигнала, а X(jw) – комплексная амплитуда входного сигнала, w имеет физический смысл частоты.

Комплексный коэффициент передачи часто используют для графического представления свойств звена. Для этого строят частотный годограф. Частотный годограф – это геометрическое место точек, конца вектора комплексного коэффициента передачи, при изменении w от 0 до . Пример частотного годографа представлен на рис.

Следует отметить, что если справедливо выражение m<n, то годограф при w , будет стремиться к началу координат.

Частотные характеристики описывают передаточные свойства звеньев (элементов) и систем в режиме установившихся гармонических колебаний, вызванных внешним гармоническим воздействием.

Рассмотрим прохождение гармонического сигнала через элемент (рис. 18).

Рис. 18. Прохождение гармонического сигнала через элемент

Входной гармонический сигнал преобразуется как по модулю (становится равным  ), так и по фазе (рис. 19). Фазовый сдвиг определяется величиной  , определяемой выражением:

.       Рис. 19. Преобразование гармонического сигнала  по модулю и по фазе

Амплитуда выходного сигнала  зависит от амплитуды входного сигнала  и от частоты  , то есть  , фазовый сдвиг зависит только от частоты  , то есть  .

Более удобно при описании передаточных свойств элемента рассматривать отношение амплитуд выходного и входного сигналов.

Зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ). Ее обозначают  (рис. 20).

Рис. 20. Амплитудная частотная характеристика

Зависимость фазового сдвига от частоты называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ), и она обозначается   (рис. 21).

АЧХ показывает, как хорошо пропускает элемент сигналы различной частоты. ФЧХ показывает, какое отставание или опережение входного сигнала по фазе создает элемент при различных частотах.

Амплитудную частотную и фазовую частотную характеристики можно объединить в одну общую: амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) или (АФХ) (рис. 22). Она обозначается   и представляет собой функцию комплексного переменного  , модуль которой равен  , а аргумент равен  .

АФХ  , как и любая комплексная величина, может быть представлена в показательной:

                              

или в алгебраической форме:

,                      

где   – проекция вектора   на вещественную ось, а   – проекция вектора   на мнимую ось.

Рис. 21. Фазовая частотная характеристика Рис. 22. Амплитудно-фазовая характеристика

 называется вещественной частотной характеристикой, а   – мнимой частотной характеристикой.

АФХ есть изображение по Фурье импульсной переходной функции:

.                         

Обратное преобразование Фурье АФХ даст импульсную переходную функцию:

.                        

Аналитическое выражение для АФХ конкретного элемента можно получить из его передаточной функции подстановкой  :

.                            

Представим передаточную функцию в виде отношения оператора воздействий и собственного оператора:

.                                  

Тогда

,