3. Динамика Задача № п.3

Сплошной металлический цилиндр массой 5 кг и радиусом 7 см подвешен на двух нерастяжимых нитях к потолку. Места закрепления цилиндра к нитям находятся на его боковой поверхности, на горизонтальной образующей прямой и на одинаковом расстоянии от её центра. Цилиндр закрутили вдоль нитей так, что его ось поднялась на высоту 1 м относительно первоначального положения, и отпустили. Он под действием силы тяжести начал падать, одновременно раскручиваясь на нитях. Достигнув наинисшего положения, он по инерции вновь стал закручиваться и подниматься вверх. При отсутствии трения эти колебания продолжились, не затухая. Требуется определить период этих колебаний (нити считать невесомыми).

Решение

Рис. П.3

1. На рис. П.3. дано в системе координат [Y,Z] схематическое изображение цилиндра радиуса r, опускающегося под действием веса с высоты H вниз. Угол α - угол поворота цилиндра вокруг своей оси при его падении и подъеме (сначала α имеет знак «плюс», а затем вычитается). Между этим углом и высотой подъема цилиндра y прямо пропорционально зависимость y=αr.

2. Н=1м

r=7см=0,07м

m=5кг

Т=?

3. Закон сохранения энергии

Момент инерции цилиндра

Связь угловой и линейной скорости v=ωr

Связь скорости, ускорения и пути

Связь пути, времени и ускорения

Константа земного ускорения g=9,8м/с²

4. Составим систему уравнений:

1)

2)

3) ω=v/r

(3 уравнения и 3 неизвестных – y, v, ω)

Подставляя 2) и 3) в 1), имеем

Разность (Н-у)=s, где s – путь, пройденный осью цилиндра при падении с высоты Н. С другой стороны

v²=2as

Следовательно

Отсюда время падения цилиндра равно

Поскольку время подъема цилиндра вычисляется также, как время падения, имеем

Ответ: 3,5 с.

(Следует отметить, что масса цилиндра m=5кг, как оказалось, на конечный результат не влияет).

4. Термодинамика Задача№ п.4

110 г углекислого газа с начальной температурой, равной 27 ⁰С, охладили при постоянном объеме до такой температуры, при которой его давление снизилось в 2 раза. Затем газ изобарически расширили так, что его температура поднялась до исходной (т. е. до 27 ⁰С). Найти количество тепла, которое пришлось передать в сосуд с данным газом.

Решение

Рис. П.4

1. Поскольку, согласно условию задачи, процесс распадается на два – изохорический и изобарический – рис. П.4 состоит из 2-х – П.4,а, и П.4,б. В первом варианте сосуд с объемом v₁ вмещает в себя m кг СО₂, который, отдавая в окружающую среду теплоту Q_1, изменяет свое давление с р₁ до р₂, а температуру с Т₁ до Т₂. Во втором варианте это же количество СО₂ размещается в большем объеме, но при этом его давление не меняется, а только возрастает температура с Т₁ до Т₂. При этом газу сообщается теплота Q₂ извне. Следует вычислить разность Q₂ –Q₁.

2.m=110г=0,11кг.

Т₁⁰=27⁰С=300⁰К

p₂=0,5р₁=const

V₁=const

∆Q=?

4. Формулы термодинамики

Универсальная газовая постоянная

Число степеней свободы i=6

4.Составляем систему уравнений.

1)

2)

3)

4)

5)

(5 уравнений и 5 неизвестных – р₁, Т₂, ∆Q, Q₁, Q₂)

Подставляем 2) и 5) уравнения в 1):

Из 3) и 4) уравнений находим Т₂=0,5Т₁

Окончательно имеем

Ответ: 3,1·10³Дж.