А) при числе эпициклов,равном 1; б) при числе 2

Рис. 11.6. Поворот плоскости орбиты заряда m: а) вид орбиты этого заряда

при повороте вокруг оси y на угол β; б) вид «сверху» на эти повороты

Возможность поворота плоскости вращения вокруг оси y увеличивает число вариантов выбора числа эпициклов – его можно было принять дробным на один дифферент, лишь бы на общее их число при поворотах вокруг оси y было целым. Иными словами, максимальное число kα не должно лишь превышать kβ.

Ясно, что все орбиты заряда m отличаются друг от друга цедым числом эпициклов.Для того, чтобы установить,как при этом различаются радиусы орбит r₀,кинетическая, потенциальная и общая энергия заряда, определим момент его импульса по эпициклу.

На рис.11.7 дано увеличенное изображение эпицикла. При движении заряда от точки 1 до точки 2 его действие d относительно центра М изменится на величину:

d=mΔv_r Δr =m(v_э - 0)(ρ – 0)=mv_эρ=L_э (11.11,а)

где L_э – момент импульса заряда m.

Далее, при лвижении заряда m от точки 2 до точки 3 действие меняется на величину:

m(0 – v_э)(ρ – 0)= – mv_э ρ = –L_э.

Рис. 11.7. К определению момента количества движения заряда m

Нетрудно заметить, что при перемещении заряда от точки 1 до точки 3 его действие сначала возрастает от 0 до L_э, азатем уменьшается до нуля.Далее, при двидении этого заряда от точки 3 до 1 такое изменение действия, как нетрудно проверить, повторяется. Поскольку, как отмечалось выше, заряд то входит в «поле зрения» центра М, то исчезает, максимальное значение действия d, а, следовательно, и момента импульса L_э равно постоянной Планка h:

L_э =h, (11.11,б)

В силу закона сохранения момента импульса, при переходе от орбиты, содержащей максимальное число n эпициклов к орбите с числом (n+1) эпицикл момент импульса движения заряда m по дифференту возрастёт на h (как видно на рисунке 11.7, поворот заряда по дифференту направлен в сторону, противоположную его вращению по эпициклу). Следовательно, момент орбитального импульса при (n+1) эпициклах отличается от момента импульса при n эпициклах на величину h:

mv_n+1r_n+1 –mv_nr_n =h.

Следовательно, момент орбитального импульса заряда m равен целому числу h:

mvr =nh. (11.11,в)

Согласно (11.10,б и в) получаем дискретные значения r,W_Σ:

r =4πε₀ h² n²/mq₁q₂; W_Σ = h²n²/2mr; (11.11,г)

Число n называется радиальным квантовым числом.Судя по сказанному выше, это число обязательно должно быть больше k_α.max или,что тоже самое, k_β:

k_β < n. (11.11,д)

Всё сказанное выше о траектории движения заряда m справедливо только при условии, что точно известна точка начала движения заряда y₀ (см. рис. 11.3,а). Однако, в силу принципа неопределённости, заряд может начать двигаться в любой другой точке. Поэтому точной траектории движения заряда m установить нельзя. Но все другие характеристики, выведенные выше, распространяются на все эти траектории. В частности ,

| k_α| ≤ k_β < n (11.12)

Те же самые соотношения можно получить,воспользовашись математическим формализмом, основанным на уравнеиии Шредингера (11.3,в).Для этого нужно, преобразовать его к сферическим координатам (см. рис.11.6,а).

(11.13,а)

Согласно [5] в сферических координатах (r, α, β):

(11.13,б)

где

(11.13,в)

Несмотря на кажущуюся сложность записи , решение уравнения (11.13,а) с учетом (11.13,б,в) ищется в достаточно простом виде :

(11.13,г)

где А - нормировочный коэффициент, Ψ_r, Ψ_β и Ψ_α, - функции соответственно только от r, и β, α. Подставляя (11.13,б,в,г) в (11.13,а), получаем

(11.13,д)

Из (11.13,д) следует, что уравнение Шредингера в сферических координатах превратилось в три независимых друг от друга уравнения от α, β, r :

(11.14,а)

(11.14,б,в)

Столь сложная запись постоянных и в правой части выражений (11.14,б и в) связана с удобством их дальнейшего использования. Выражение (11.14,в) можно записать в виде обычного волнового уравнения:

решение, которого имеет вид:

(11.14,г)

Из требования однозначности решения вытекает то обстоятельство, что -целое число (Κ_α=0,±1;±2;…), именуемое магнитным квантовым числом [11]. Амплитуда Ψ_αm вычисляется, исходя из обычного требования (см.§ 11.2) равенства единице интеграла Ψ ² по всем значениям α:

═>

Выражение (11.14,б) с учетом (11.14,г) имеет вид:

откуда получаем

(11.14,д)

где является присоединенной функцией Лежандра[5].

Амплитуда Ψ_βm вычисляется также, как и Ψ_αm , исходя из условия, что интеграл при изменении β в пределах от 0 до π равен единице. Опуская промежуточные выкладки, получаем [11]:

(11.14,е)

Из теории сферических функций [5] следует, что - целое положительное число ( =0,1,2,…), а

(11.14,ж)

Величина именуется азимутальным квантовым числом.

И, наконец, для определения зависимости распределении вероятности нахождении точки m от радиуса r преобразуем выражение (11.14,а):

Это уравнение также решается с применением сферических функций [5]. В данном случае используются полиномы Лагерра

где (11.14,з)

После довольно громоздких, но непринципиальных промежуточных выкладок получаем

(11.14,и)

где n целое число, именуемое радиальным квантовым числом, иногда – главным квантовым числом (n=1,2,…, K_β=0,1,…, n -1).

Как видим, у функции несколько кратных n решений. Каждому из этих решений соответствует свое дискретное значение суммарной энергии

(11.15)

В том случае, когда отличается от какого-либо из этих значений, частица m излучает в виде электромагнитной волны избыток энергии до ближайшего меньшего по формуле (11.15). После этого она оказывается «размазанной» в пространстве в соответствии с значениями Ψ_α, Ψ_β и Ψ_r. О том, как двигается частица m в пределах соответствующего участка пространства, точно сказать невозможно. Скорее всего, это хаотическое блуждание, в результате которого образуется облако с распределенной внутри него массой и зарядом.