11.4. Движение электрического заряда в центрально-симметричном электрическом поле

Рассмотрим движение заряда q₁ в центрально-симметричном поле, созданном зарядом q₂ . Для определённости примем, что масса заряда q₂ – М – значительно больше массы заряда q₁ - m. Поэтому далее считаем, что М находится в центре координат (рис. 11.3, а) и неподвижен, а m перемещается относительно него. Знаки зарядов q₁ и q₂ выбираем противоположными, например, q₁ < 0 , а q₂ > 0.

В классическом варианте заряд q₁ массой m, будучи притянутым зарядом q₂ постоянной силой Кулона:

(11.10,а)

где r – расстояние между m и M, вращается вокруг него со скоростью

Кинетическая энергия движения заряда m вокруг M равна:

(11.10,б)

а потенциальная энергия согласно(5.17) и суммарная составляют:

(11.10,в)

Рис. 11.3. Движение заряженной частицы m в центрально-симметричном поле заряда М: а) общий случай движения; б) циклоидная модель движение заряда m

Как видим, суммарная энергия вращающегося заряда в классическом варианте равна кинетической энергии, взятой с противоположным взглядом, и в два раза меньше потенциальной энергии.

Рассмотрим теперь движение заряда q1 вокруг центра М с учётом принципа неопределённости,т.е. квантовых эффектов. На рис. 11.3,а показана траектория m 1m2 , по которой движется этот заряд до начала взаимодействия с зарядом q2 . Начнём изучать это движение в тот момент, когда заряд q1 пересекает ординату в точке y0 . С этого же момента начнём отсчитывать время. До тех пор, пока действие d меньше постоянной Планка h, никакого взаимодействия между обеими зарядами нет, так как они «не замечают» друг друга. Заряд m двигается по инерции вдоль прямой m1 m2. Но при этом он удаляется от центра М (см. рис.11.3,а), т.е. расстояние от m до М возрастает по формуле:

Скорость этого удаления равна:

Соответственно, действие заряда q1 относительно q2 увеличивается:

В момент t1 это действие становится равным h , оба заряда «обнаруживают» друг друга и между ними возникает сила Fэ , соответствующая формуле (11.10,а). Эта сила поворачивает траекторию движения точки m. Теперь она напоминает траекторию движения камня,брошенного под углом α1 к горизонту. Только вместо горизонтальной линии приходится принять линию m’1 m’2, перпендикулярную радиусу-вектору r1,соединяющего оба заряда в момент t1 (см. рис.11.3,а ). При этом действие d сначала продолжает расти, а затем уменьшается в соответствии с формулой:

где Δr =r-r1.

В момент t2 действие вновь становится меньше h, и заряд М опять «теряет» из вида частицу m. Сила F_э исчезает и m продолжает движение по инерции до тех пор, пока его действие повторно не превысит h.

Следовательно, движение заряда m вокруг М происходит под действием не постоянной силы притяжения Fэ ,а периодической – то возникающей,то исчезающей. Поэтому заряд m вращается вокруг М не по окружности, как это следует из классической теории, а по некоторой циклоиде – рис. 11.3,б [16].

Разумеется, данное описание носит качественный характер. Его цель – наглядно объяснить, почему движение заряда m происходит не по окружности, а по более сложной кривой и его расстояние от центра в процессе вращения следует изобразить формулой:

_(11.10,г)

где kα – некоторое число, а ρ – амплитуда отклонения циклоиды от окружности (ρ<r ). На рис.11.3,б дана кривая, соответствующая (11.10,г). Как видим, в общем случае эта циклоида после полного оборота (α=2π) не попадает в её начало (при α=0).А это значит, что при следущем обороте циклоида будет иной. Среднее значение силы притяжения Fэ в этом случае будет от оборота к обороту меняться и заряд m будет либо приближаться, либо удаляться от центра М. Этот процесс закончится тогда, когда в течение одного оборота циклоида замкнётся . В этом случае kα равно целому числу.

На рис. 11.4,а изображена эта стационарная циклоида. Её формирование можно представить себе,как наложение двух движений – вращения вокруг центра М (по Птолемею – дифферент )и вращения вокруг точек на этом дифференте (эпицикл) – рис.11.4,б. Вращение по дифференту приводит к возникновению орбитального магнитного поля, а по эпициклу – спинного. Последнее обстоятельство обусловило название коэффициента kα – магнитное квантовое число. Рисунок 11.4,б позволяет понять, что на одном дифференте может размещаться только два заряда m, и то при условии,если их магнитные моменты направлены в противоположные стороны. Дейстывительно, поскольку оба этих заряда одноимённые, они отталкиваются и поэтому могут располагаться на диаметрально противоположных точках дифферента. При этом их магнитные поля должны складываться, иначе их рсположение в пространстве будет неустойчивым (см § 6.6, рис.6.9).

Рис. 11.4. Стационарная орбита заряда m: а)вид «анфас»; б) вид сбоку

При минимальном числе эпициклов – 1 и 2 – орбита заряда m вырождается в эллипс – рис. 11.5.

Вероятностный характер движения заряда m в поле неподвижного заряда М приводит ещё к одному явлению – повороту плоскости вращения – рис.11.6.а. Дело в том, что совершив оборот вокруг центра М, заряд m может не попасть в точку начала циклоиды, а повернуться на некоторый угол β вокруг оси y и начать вращаться в новой плоскости. В этом случае циклоида окажется замкнутой после двух оборотов, или трёх … Ясно, что угол β должен быть в целое чило раз меньше 2π , чтобы циклоида в конце концов замкнулась:

β o= 2π/kβ ,

где kβ – целое число,именуемое азимутитальным квантовым числом [11].

Рис. 11.5. Вырождение циклоиды в эллипс: