11.3. Волна вероятности ускоряющейся частицы. Волновой пакет

Представим теперь, что частица, двигавшаяся равномерно и прямолинейно со скоростью , начиная с некоторого момента t₁, приобрела ускорение а (рис. 11.2,а). С этим ускорением она двигается до момента t₂,после которого она вновь стала двигаться с постоянной скоростью, но уже . Ясно, что волна вероятности до момента t₁ и после момента t₂ будет представлять собой бегущую синусоиду (11.5).

а) б)

Рис. 11.2. Возникновение волнового пакета

При ускорении частицы (а) и его структура (б)

В промежутке между моментами t₁ и t₂ (в пространстве – точками х₁ и х₂) функция представляет собой волновой пакет, аналитически выражаемый формулой

(11.7,а)

где

(11.7,б)

(11.7,в)

Выведем эту формулу из уравнения Шредингера для свободной частицы (11.4). Её скорость в момент t(t₁<t<t₂) равна этому значению, скорости соответствуют кинетическая энергия и импульс:

_.

Подставляя их в уравнение Шредингера (11.3,а) и решая его, находим соответствующую волновую функцию в виде синусоидальной волны (11.5). Поскольку в этом интервале времени скорость v_t непрерывно меняется, вместе с ней меняется и волновая функция . При появлении новой функции через интервал времени dt предшествующая функция остается. Происходит последовательное сложение волн, возникших сначала, с волнами, появившимися позднее. Поэтому результирующая волна равна сумме (фактически интегралу) . Для того, чтобы произвести такое суммирование, запишем функцию в следующем виде

(11.8,а)

где ω и k определяются соотношениями (11.7,а), δк и групповая скорость (скорость группы волн) v₂ равны:

(11.8,б)

В формулах (11.8,б) предусматривается, что

Иными словами, скорость частицы изменяется в течение рассматриваемого интервала времени незначительно и групповую скорость v₂ можно принять постоянной. Переменной величиной оказывается только приращение волнового числа δк. По нему и осуществляется суммирование волновых функций:

(11.9,а)

После интегрирования (11.8,а) и ряда несложных тригонометрических преобразований получаем:

С учетом (11.7,б), (11.7,в) и (11.8,б) получаем (11.7,а).

Величину в формуле (11.7,а) находим, исходя из того, что интеграл квадрата волновой функции (11.7,а) в пределах от до равен единице, если ≥h/π, т. е. соблюдается принцип неопределенности Гейзенберга.

Иными словами

и, следовательно

Подставляя в (11.7,а), получаем окончательно

(11,9,б)

На рис. 11.2,б показан волновой пакет, соответствующий этой функции. Итак, мы видим, что применение аппарата волновой функции, определенной уравнением Шредингера, действительно аналитически позволяет установить частицу в какой – либо области пространства, если она начнет двигаться ускорено, причем это движение будет длиться столько, сколько определяется уравнением неопределенности Гейзенберга.