Векторное изображение угловой скорости (б)

В том случае, когда вращение происходит с ускорением, появляется еще одна характеристика – угловое ускорение , определяемое как

(1.7,в)

Как видим, совпадает по направлению с (см. рис. 1.2).

Этому ускорению соответствует так называемое тангенциальное ускорение ,направленное по касательной к окружности вращения также, как и скорость

(1.7,г)

Для полноты картины угол поворота также изображается вектором, направленным вдоль все той же оси вращения.

1.3. Кинематика твердого тела. Разложение произвольного движения на поступательное и вращательное

Под твердым телом в механике подразумевается такой физический объект, у которого расстояние между любыми двумя точками ни при каких условиях не изменяется.

Исследование кинематики твердого тела важно ещё и потому, что по умолчанию изображенные на рис. 1.1, 1.2, 1.3 системы координат представляют собой твердые тела, относительно которых и перемещается материальная точка.

Рис. 1.4. Траектории движения двух точек А и В твердых тел

На рис. 1.4 изображены траектории двух точек – А и В, представляющие собой концы отрезка постоянной длины, который двигается произвольным образом в плоскости [ХОУ]. Если сопоставить положения этого отрезка в два момента времени и ( > ), то нетрудно заметить, что его движение складывается из двух видов – движение параллельно исходному (поступательное) и вращение вокруг любого из его концов (и даже промежуточной точки С) на угол (см. рис. 1.4).

Ясно, что в ходе поступательного движения отрезок АВ располагается в одной плоскости. Что касается вращательного движения, то оно в общем случае может происходить в разных плоскостях.

Чаще используется частный случай вращения – вращение вокруг постоянной оси, проходящей через начало координат О. В этом случае движение каждой точки твердого тела описывается формулами (1.5,а и б) и (1.7,а,б,в). Угловая скорость и угловое ускорение в этом случае относятся ко всем точкам твердого тела.

1.4. Относительное движение

Представим себе движение материальной точки в системе координат , которая в свою очередь движется относительно системы координат –рис. 1.5, а и б. Обнаружить такую ситуацию в реальной жизни нетрудно: например, движение пассажира по палубе судна, которое в свою очередь движется относительно берегов. Или относительное движение двух автомобилей по разным трассам с разными скоростями и т. д.

Рис. 1.5. Относительное движение материальной точки: а – в параллельных системах координат XYZ и X₁Y₁Z₁; б – в непараллельных системах координат

Обычно задача ставится так: известны законы движения точки М относительно системы . Найти законы движения этой точки относительно системе . Строго говоря, выбор направления осей систем координат – дело исследователя, поэтому в подавляющем большинстве случаев их выбирают параллельными: (рис. 1.5,а).

В этом случае

(1.8,а)

(1.8,б)

(1.8,в)

где все величины – x, y, z, v_x , v_y , v_z , a_x , a_y, a_z – с индексом «0» относятся к точке 0₁ – центру системы координат X₁ Y₁ Z₁ относительно системы XYZ ,а с индексом «1» – к точке М относительно системы X₁ Y₁ Z₁.

Особое место среди систем с параллельными осями координат занимают так называемые инерциальные системы. Эти системы двигаются с постоянной скоростью друг относительно друга, т. е. . Главной их особенностью является то обстоятельство, что все физические законы у них одинаковы и нет никакой возможности отличить, какая из них движется, а какая неподвижна. Строго говоря, в природе таких систем нет. Длительное время считалось, что Земля является такой системой. Однако уже описанный ниже (см. рис. 1.7 и комментарий к нему) опыт с маятником Фуко опроверг это допущение. Тем не менее, со значительной степенью точности многие объекты в определенных пределах можно считать инерционными системами. Например, транспортные средства, двигающиеся по горизонтальному прямолинейному пути относительно поверхности Земли.

Возможны задачи, когда выбор параллельных систем координат неприемлем. Например, если объект, на котором движется материальная точка, совершает поворот (судно поворачивается относительно берегов) – рис.1.5,б. Путём несложных рассуждений этот общий случай можно свести к более простому, при котором обе системы координат и имеют одно и тоже начало координат O и у них совпадает ось , а оси и вращаются вокруг оси Z относительно неподвижных осей со скоростью – рис.1.6.

В общем случае движение точки М, скорость которой в системе – , относительно {X₁, Y₁, Z₁} согласно рис. 1.5,б определяется соотношением

(1,9, а)

где в случае вращения – (рис.1.6) – – скорость точки, жёстко связанной с плоскостью X₂OY₂ и совпадающей в данный момент времени с положением точки M,относительно неподвижной системы координат . Согласно формуле (1.7, а)

, (1.9,б)

где Ř – радиус- вектор, соединяющий начало координат с точкой М. Этот вектор одинаков для обеих рассматриваемых систем координат. А вот производная этого вектора по времени для обеих систем, если судить по формуле (1.9, а) различна:

(1.9, в)

где индекс у квадратных скобок указывает на принадлежность к соответственно неподвижной и вращающийся системе координат.

Рис. 1.6. Относительное движение точки во вращающейся системе координат

Строго говоря, формула (1.9, в) показывает, как преобразуется производная любого вектора при относительном вращательном движении:

(1.9,г)

Следовательно:

, (1.10)

где – центробежное ускорение т.М ,

– кариолисово ускорение;

ā₂ – ускорение т. М в системе координат {X₂,Y₂,Z₂}.

Из всех слагаемых ускорения, включенных в формулу (1.10), наиболее интересными, с точки зрения возникающих в природе явлений, представляет собой кориолисово ускорение, названное в честь Густава Кориолиса, который предложил его в качестве изменения меры «живой силы», введенной Лейбницем. Можно указать на два наиболее впечатляющих явления, обусловленных кориолисовым ускорением. У всех рек, текущих в северном полушарии правый берег высокий и скалистый в отличие от пологого левого берега. Это связано с тем, что в результате вращения Земли у этих рек возникает ускорение, стремящееся сдвинуть их русло вправо. Реки постоянно подмывают правый берег, оставляя левый ровным. Вторым известным эффектом является суточное вращение плоскости колебание маятника, впервые установленное Фуко. На рис. 1.7 показан маятник Фуко в Пантеоне в Париже [8].

Он представляет собой массивный шар с острием внизу, подвешенный на длинной нити к куполу здания. Острие маятника прочеркивает на нижнем диске полосы, постоянно поворачивающиеся по часовой стрелке на один и тот же угол, но так, чтобы в течение суток совершить полный оборот. У нас в стране маятник Фуко был установлен в Исаакиевском соборе г. Ленинграда.

Рис. 1.7. Опыт Фуко в Пантеоне в Париже. Колеблющийся маятник прочерчивает своим ост­рием штрихи на кольце, расположенном на полу. Острие маятника не проходит повторно по од­ним и тем же штрихам, а все время наносит новые, регулярно поворачиваясь по часовой стрелке, будто само кольцо, вращаясь под маят­ником, подставляет под его острие различные участки