11.2. Волна вероятности. Уравнение Шредингера

Из материала предыдущего параграфа следует, что местонахождение и передвижение частиц в микромире определяется не точными (однозначными) значениями координат и импульса, а лишь с определенной степенью вероятности. Многочисленные экспериментальные данные и их анализ позволили придти к следующей процедуре количественной оценки этой вероятности.

Исходной предпосылкой этой процедуры является признание того факта, что каждая частица обладает не только классическими характеристиками – массой, зарядом, кинетической и потенциальной энергией, но и волной вероятности - некоторой распределенной функцией координат и времени. Квадрат этой функции ²(x,y,z,t) равен вероятности местонахождение частицы в данной точке пространства в данный момент времени.

Сама функция определяется при скоростях частицы, значительно меньших скорости света, уравнением Шредингера

(11.3,а)

где m - масса частицы, - её кинетическая энергия .

Иногда уравнение Шредингера записывают в более компактном виде:

(11.3,б)

подразумевая под (см. приложение 2) оператор дифференцирования

В том случае, когда при решении конкретных задач удобно вместо ортогональной системы координат использовать другие, например, сферическую, оператор принимает иной вид, который будет приведен ниже.

Учитывая, что кинетическая энергия есть лишь часть общей энергии частицы W, уравнение (11.3,б) можно записать в следующем виде:

Следует отметить, что в релятивистском случае вероятность местонахождения частицы определяется не одной, а четырьмя волнами вероятности , связанными между собой и энергией этой частицы системой уравнений Дирака [9]. Однако этот более сложный феномен микромира здесь рассматриваться не будет.

Рассмотрим теперь, как, основываясь на уравнении Шредингера, определить вероятность местонахождения свободной частицы, двигающейся равномерно – ускорению и прямолинейно. Подставляя в (11.3), получаем

(11.4)

(производные по y и z равны нулю потому, что частица двигается только вдоль оси х).

Начнем с первого случая (рис. 11.1,а). Кинетическая энергия частицы, двигающейся со скоростью v вдоль оси х, равна .

а б

Рис. 11.1. Материальная точка m,её волна вероятности ψ(а) и

Вероятность её нахождения вдоль оси X(б)

(11.4) представляет собой волновое уравнение, поэтому его решение в виде обычного соотношения бегущей синусоидальной волны

(11.5)

где ω – частота колебаний, а k – волновое число.

Подставляя (11.5) в (11.4), получаем

(11.6)

или

где - импульс частицы.

Учитывая, что волна ψ должна передвигаться с той же скоростью, что и частица, пишем

,

откуда находим

(11.6,а)

Как видим, волна вероятности свободной частицы, двигающейся равномерно и прямолинейно; представляет собой распределенную вдоль всей оси х синусоиду, частота которой пропорциональна кинетической энергии, а волновое число – импульсу (рис. 11.1,а). Вероятность нахождения частицы вдоль оси х равна (см. рис. 11.1,б)

(11.6,б)

Учитывая, что суммарная вероятность равна единице (частица где-то все-таки находится), записываем:

(11.7)

где х₁ и х₂ – месторасположение частицы в начальный и конечный момент движения (теоретически однако такой вариант практически исключается; единственное, что можно принять, это то, что х₂-х₁>> , т.е. на всем отрезке движения частицы укладывает очень большое число длин волны вероятности).

Из формулы (11.7), получаем

Как видим, частица оказалась «размазанной» вдоль оси х: вероятность её нахождение в какой–либо точке оси х ничтожна мала.