10.4. Негармонические звуковые колебания

Чаще всего источники звуки излучают периодические, но несинусоидальные колебания – рисунок 10.3.

Рис. 10.3. Несинусоидальное периодическое колебание

Такие колебания можно представить функцией:

, т.е. (10.14)

где Т – период колебаний, k = 0,1,2…

Согласно известной в математике теореме Фурье [5] функцию можно представить, как сумму гармонических (синусоидальных) колебаний кратной частоты:

(10.15)

где ω = 2π/Т.

Доказательство этой теоремы является одновременно и способом вычисления . Осуществляется это следующим образом. Сначала правую часть (10.18, а) преобразуют в соответствии с известным [5] тригонометрическим тождеством:

(10.16)

где

. (10.17)

Вторым шагом умножаем правую и левую часть (10.16) поочередно на sin k'ωt, и на cosk'ωt

(10.18,а)

(10.18,б)

Третьим шагом интегрируем правую и левую часть (10.18а и б) по времени t в пределах от 0 до Т:

(10.18,в)

Аналогично:

(10.18,г)

Из (10.18, в и г) получаем

; (10.18,д)

С учетом (10.17)

(10.18,е)

В сущности, формулы (10.18,д, е) и являются доказательством теоремы Фурье.

Слагаемые формулы (10.15) подразделяются на три вида: слагаемое, соответствующее k=0, называется нулевой составляющей, составляющее k=1 – основной гармоникой, а все остальные слагаемые – высшие гармоники. Что касается нулевой составляющей, то ее просто можно принять равной нулю, сместив на величину начало отсчета «0» на рисунке 10.1.

В акустике основная гармоника называется основным тоном, а все остальные гармоники именуются обертонами. Основной тон определяет высоту звука, а все остальные, (обертоны) определяют его тембр.

Вопросы по десятой главе:

1. Каким термодинамическим процессом сопровождается распространение звука в газе?

2. Зависит ли скорость распространения звука в газе от частоты? От давления? От температуры?

3. Что такое ультразвук?

4. В каком диапазоне частот лежат звуковые волны, воспринимаемые ухом человека?

5. Продольными или поперечными волнами являются звуковые колебания в газе? В упругом твёрдом теле?

6. Что такое обертон?

7. Что такое высшие гармоники?

8. Почему голоса разных людей (и инструментов) одинаковой высоты звука отличаются друг от друга?

Раздел пятый. Физические основы строения материи глава одиннадцатая. Элементы квантовой механики

1.1. Принцип неопределенности

До сих пор, во всех предыдущих главах, изучая законы весьма разнообразных физических явлений, мы пользовались абстрактными моделями реальных объектов природы. Сначала, в кинематике моделью материи принималась материальная точка, а пространства – система координат. Далее, в динамике, материальная точка была дополнена двумя новыми свойствами – массой и наличием в окружающем пространстве поля. Изучение множества таких точек привело нас к идее возникновения твердых и упругих тел, газов и жидкостей. Именно эти множества материальных точек изучались в главах, посвященных термодинамике, аэро- и гидродинамике.

Далее, в разделе, посвященном электричеству и магнетизму, продолжилось использование материальных точек в качестве вещественной основы изучаемых процессов. Теперь у них добавилось новое качество – электрический заряд. Скопление таких точек привело к идее диэлектриков, проводников и магнетиков. Было также обнаружено, что поля, которые в первых разделах рассматривались, как неотъемлемые компоненты материальных точек, могут существовать отдельно, независимо от них. Так, в наше рассмотрение помимо материальных точек был включен еще один материальный объект – электромагнитное поле. Это обстоятельство позволяет допустить, что и гравитационное поле можно рассматривать, как независимый материальный объект. В этом учебнике подробно свойства гравитационного поля не рассматриваются по ряду причин. Главная из них заключается в том, что современная теория гравитационного поля совпадает с общей теорией относительности, качественное изучение которой потребует не меньше времени, чем отведено на весь курс физики. К тому же практическое применение этой теории в технологиях, которым будет посвящена инженерная деятельность выпускников вузов сервиса, пока не осуществляется.

В этом разделе мы сосредоточим внимание на самом строении вещества в современном его понимании. Однако предварим такое изучение знакомством с еще одним свойством материальной точки, которое нужно добавить к уже изложенным. Свойство это именуется «принцип неопределенности». Для того, чтобы понять его, вспомним, что все свойства материальных точек – наличие электрического заряда, массы и окружающего поля – основывались на экспериментах с макрообъектами.

Основное отличие процессов в макромире от таковых в микромире (мире элементарных частиц, атомов и молекул) заключается в том, что информацию о них мы получаем без изменения энергии наблюдаемых объектов.

Например, если летит мяч, и мы начали наблюдать за его полетом, то с мячом от этого ничего не происходит. То же самое с птицей, самолетом и даже летящей пушинкой. Однако, если детально вдуматься в процесс получения информации о каждом из этих движений, то выясняется что незначительное изменение энергии в них все-таки происходит. Действительно, для того, чтобы мы смогли увидеть летящий мяч, необходимо его осветить. Это значит, что от мяча должны отразиться лучи света (электромагнитные волны). Как было показано в восьмой главе, это связано с воздействием на мяч импульса электромагнитного поля. При этом часть энергии этого поля передается мячу. Однако эта энергия меньше энергии летящего мяча в миллиарды раз. Поэтому производимый ею эффект настолько мал, что учитывать его нет никакого смысла.

То же самое и со всеми другими примерами. Как, впрочем, и со всеми явлениями, происходящими в макромире.

Вот почему все базовые законы физики – законы Ньютона в механике, законы Кулона, Ампера и Максвелла в электромагнетизме предполагают независимость всех параметров движения (в первую очередь координат и скорости) одного объекта от процесса взаимодействия с другим объектом.

Совсем другой характер носит получение информации в микромире. Там энергия, необходимая для передачи этой информации, соизмерима с энергией движения и взаимодействия самих движущихся объектов. Например, для того, чтобы «увидеть» движущийся электрон, его также нужно осветить, т.е. подвергнуть воздействию света. В силу ничтожности энергии движения электрона эти лучи обязательно изменят параметры движения электрона – его скорость и координаты. Поэтому «наблюдатель» получит информацию не о тех параметрах движения электрона, которые существовали при отсутствии «наблюдения», а совсем другие. Очевидно, что судить в микромире о движении входящих в него частиц можно не точно, а лишь приблизительно, с той мерой точности, которая определяется отношением энергии информации к энергии этого движения. Чем меньше это отношение, тем точнее определяется параметры движения.

Путем многочисленных экспериментов было установлено, что минимальной дозой информации, с помощью которой можно «обнаружить» микрочастицу (электрон, ядро и т.п.), является величина h = 6,63 · 10^-34 Дж.с. Это значит, изменение энергии движения этой частицы, умноженное на интервал времени, в течение которого происходит это изменение, должно быть не меньше h

(11.1)

Например, для того, чтобы увидеть мяч, необходима затрата энергии световой (электромагнитной) волны порядка 10^-9 Дж. Это значит, что минимальное время измерения координат мяча составляет 10^-25 с. Ясно, что это время ничтожно мало по сравнением со временем полета мяча, составляющем десятые доли секунды. Без каких-либо погрешностей можно принять, что измерение параметров движения мяча происходит мгновенно. Сама энергия движения мяча порядка 1 Дж. Следовательно, затраты на измерение составляют также ничтожную долю этой энергии и их без каких-либо ошибок можно принять равными нулю. Как видим, действительно, принятая в классической физике концепция, согласно которой все параметры движения объекта можно измерить одновременно, в этом примере справедливы. Рассмотрим теперь, как можно измерить движение электрона.

Энергия этого движения не превышает 10^-17Дж. При этом электрон достигает скорости порядка скорости света. Ясно, что если мы хотим произвести измерение с достаточно высокой точностью, нужно, чтобы эта энергия изменялась не менее, чем на 10^-20Дж. Согласно (11.1) для этого понадобится интервал времени порядка 10^-14 с. За это время электрон проделает путь 10^-6м=1 мк. Напомним, что размер молекулы составляет 10^-9м (см. §4.2), а межмолекулярного расстояния 10^-7÷10^-8м. Как видим, за время измерения в микромире произойдут кардинальные изменения, и сказать, что именно измерено, окажется невозможно.

Формулу (11.1) часто записывают в ином виде. При этом учитывают, что

(11.2,а)

где v₁ и v₂ – скорости в момент начала и конца измерения. Подставляя (11.2,а) в (11.1), получаем

, (11.2,б)

где ∆r - путь, пройденный частицей за время измерения.

Величина, стоящая в левой части формулы (11.2,б) (а также формулы (11.1)), именуется действием [11] и обозначается далее d. Неравенства (11.1) и (11.2,б) именуются принципом неопределённости Гейзенберга [11].