10.2. Поперечные упругие колебания протяжённых твердых тел и поверхностей жидкостей

Лучше всего акустические колебания твердых тел описываются осциллятором, представляющим собой протяжённый брус, длина которого на несколько порядков больше, чем размеры его поперечного сечения.

Рис. 10.2. Упругие колебания протяжённого бруса

Дело в том, что движение участков такого бруса описывается всего одной пространственной координатой. Физическими аналогами такого бруса может выступать либо натянутая струна, либо провода линии электропередачи.

На рисунке 10.2, а показан участок такого бруса, совершающий поперечные колебания вдоль оси Y. Будем считать брус настолько длинным, что характер его закрепления на краях практически не влияет на динамику колебаний того участка, который изображён на рисунке 10.2,а. Выделим инфинитезимальный элемент, находящийся на расстоянии x от начала участка. Его увеличенное изображение дано на рисунке 10.2,б. Поскольку центр этого элемента смещен от оси x на расстояние , сам элемент подвергнут упругой деформации сдвига (см.§ 2.10) на угол . Согласно (2.58,а) эта деформация вызывает упругую силу dF_y ,равную

(10.7,а)

где G – модуль сдвига (см. (2.51,б)).

Согласно второму закону Ньютона, сила dF_y вызывает ускорение элемента dx вдоль оси y:

(10.7,б)

где - плотность материала бруса, S-площадь его поперечного сечения (см. рисунок 10.2, б). Из (10.7, а и б) получаем

(10.7,в)

Сопоставляя (10.5, в) с (8.19, а и б), нетрудно заключить, что поперечные колебания бруса описываются волновым уравнением. В общем виде это уравнение имеет следующее решение

, (10.8, а)

где и - падающая и отраженная акустические волны, v-скорость их распространения – cкорость звука в твердом теле:

(10.8, б)

Все выкладки, касающиеся доказательства правильности решения (10.7, в) в виде (10.8, а) аналогичны таковым для плоской электромагнитной волны в диэлектрике (см.§8.3). Точно так же повторяются и все другие расчеты. Поэтому ниже мы только приведем полученные результаты. В частности, если граничные колебания бруса будут синусоидальными с частотой ω,то формула (10.8, а) примет вид

(10.8, в)

где и -начальные фазы падающей и отраженной волны.

Полученные результаты можно распространить на твердое тело в виде плоской пластины. Там уравнения (10.8,а и в) дополняются колебаниями вдоль оси z:

, (10.9,а)

и соответствующее выражение в синусоидальном виде:

(10.9,б)

Уравнения (10.9, а и б) можно распространить и на колебания, возникающие на поверхности жидкости (например, на поверхности водоемов).

10.3. Распространение гармонического звука в газе

Рассмотрим частный случай формулы (10.6), предполагающий и синусоидальными:

. (10.10)

где и - амплитуды прямой и обратной звуковых волн, и – начальные фазы этих волн, k – волновое число, равное

, (10.11)

где ω=2πf – угловая частота волны, f – частота звука. Возникает синусоидальная звуковая волна, например, под воздействием струнного осциллятора, описанного в § 10.2. Обратная волна возникает чаще всего путем отражения прямой волны от какого-либо препятствия.

В том случае, когда амплитуды прямой и обратной волны одинаковы, то возникает стоячая волна:

(10.12,а)

где

(10.12,б)

Как видим, в точках звуковая волна имеет узлы, а в точках - пучности (n = 1,2,3…).

Каждая из волн – падающая или обратная несет определенную энергию и импульс. Плотность энергии звука равна:

(10.13,а)

где - скорость перемещения слоев газа (см. рисунок 10.1), ρ – средняя плотность газа, β –коэффициент упругости газа, равный β=1/рv², w_k и w_П – плотность кинетической и потенциальной энергии.

Плотность импульса и давление звуковой волны равны:

j = ρv ; p = ρvv_x. (10.13,б)

Значения энергии звуковой волны и его давления, воспринимаемые слухом, лежат в пределах: