9.4. Отражение и преломление волн на границе двух сред

На рисунке 9.6, а показана плоская волна, падающая на поверхность ОО' под некоторым углом α к перпендикуляру этой поверхности. Левый край этой волны достигает ОО' в точке А, а правый – спустя некоторое время δt в точке В. Время δt можно определить из рассмотрения прямоугольного треугольника АВС:

, (9.3, а)

где с – скорость распространения электромагнитной волны, в отрезок ВС связан с шириной волны АС соотношением

ВС=АСtgα, (9.3, б)

так как угол САВ равен углу α, (стороны взаимно - перпендикулярны).

Рис. 9.6. К обоснованию законов отражения и преломления плоских волн

В момент, когда правый падающий край волны достигает точки В и отразится от нее под некоторым углом α', левый край, отразившись под этим же углом, пройдет путь АС' = сδt. (Интервал времени движения левого края после отражения от точки А до точки С' такой же, что и движения правого края от точки С до В).

Из равенства АС=АС' следует равенство прямоугольных треугольников АВС и АВС' и, значит, равенство

α = α'. (9.3, в)

Следовательно, плоская электромагнитная волна отражается от поверхности ОО' под тем же углом, что и падает.

На рисунке 9.6, б рассмотрен случай прохождения плоской волны из среды со скоростью с₁ в среду со скоростью с₂. Как видим, в этом случае происходит преломление света: если волна падает на поверхность 00' под углом γ₁ к ее перпендикуляру, то выходит под углом γ₂ к нему же.

Соотношение между γ₁ и γ₂ удобнее всего рассмотреть из сравнения треугольников АВС и АВС', образованных участком АВ прямой ОО', захваченных волной и фронтами волн АС и ВС'. Катеты ВС и АС' равны соответственно

(9.4, а)

где δt – разность моментов касания поверхности раздела сред ОО' левым и правым краем волны. Поскольку треугольники АВС и АВС' – прямоугольные, имеем

. (9.4, б)

Из сопоставления (9.4, а) и (9.4, б) имеем

(9.4,в)

Если среда 1 – вакуум, то с₁ = с = 3 · 10⁸ м/с. Тогда отношение с/с₂ называется коэффициентом преломления среды 2:

n₂ = с/c₂. (9.4, г)

Скорость с₂ определяется соотношением (см. §8.6 ):

(9.4, д)

Как видим, скорость света в среде 2, хотя и в незначительной степени, но зависит от частоты – чем больше частота, тем меньше скорость.

Если пренебречь проводимостью γ среды, то

(9.5)

9.5. Геометрическая оптика

Учитывая изложенные в предыдущем параграфе законы отражения и преломления электромагнитных волн, можно обосновать принцип действия базовых оптических приборов: сферических зеркал и линз.

Вогнутое сферическое зеркало. На рисунке 9.7, а изображено в разрезе сферическое зеркало радиуса R с центром О. Поскольку отражающая поверхность зеркал находится с той же стороны, что и центр О, зеркало называется вогнутым.

Луч света, идущий параллельно оси зеркала в точке А, отражается и направляется к оси Оx, пересекая ее в точке F.

Из рассмотрения треугольника OAF можно получить:

(9.6, а)

Если α достаточно мало, то .

Так, например, если

0 < α < 8⁰, (9.6, б)

то

0,99 < cos α < 1.

Следовательно, можно записать

. (9.6, в)

Значение именуется фокусным расстоянием f вогнутого зеркала.

Если бы вогнутое зеркало было не сферическим, а параболическим, то луч света, параллельный оси Оx, отразившись, прошел бы точно через фокус F. Параболическим именуется зеркало, у которого зависимость x(y) описывается параболой:

x = аy², (9.6, г)

где а – произвольный коэффициент.

Учитывая, что при α, соответствующем (9.7,б), разницы между параболическим и сферическим зеркалом нет, в дальнейшем ограничимся оптическими эффектами в сферическом, так как его чаще всего изготавливают.

Рассмотрим, как изображается какой-либо предмет после отражения в вогнутом сферическом зеркале. На рисунке 9.7, б стрелкой, направленной вверх, условно изображен какой-либо предмет xy. Его расстояние от зеркала вдоль оси Ox равно d. Из всех лучей, исходящих из этого предмета и попадающих на зеркало, выберем два: yA, параллельный оси Ox, и yO, направленный в центр зеркала. Первый луч, отражаясь, направляется в фокус F и далее по прямой, а второй после отражения оказывается лучом, образующим с осью Ox тот же угол α, что и падающий.

В точке y' оба отраженных луча пересекаются, образуя вершину y', изображающую вершину у предмета xy. Из подобия треугольников Oxy и Ox'y' получим

, (9.7, а)

где h и h' – высота предмета и его изображения, d и d' – их расстояния от центра зеркала О. Из подобия треугольников O'FA и Fx'y' получаем

. (9.7,б)

При выводе соотношения (9.7, б) было принято, что ; . Исключая из (9.7, а) и (9.7, б) отношение h'/h, получаем после тривиальных преобразований

. (9.7, в)

Рис. 9.7. Отражение плоской волны от сферического вогнутого зеркала –

а; б – к определению изображения в вогнутом зеркале

Отношение h'/ h зависит от расстояния d исходного объекта по формуле (9.7,г)

Ясно, что если объект будет расположен на расстоянии d'<2f от зеркала, то его изображение будет расположено на расстоянии d>2f от него, т.е. предмет и изображение на рисунке 9.7, б поменяются местами. Называется это изображение увеличенным.

Тонкая линза. На рис. 9.8, а изображен путь луча света, выходящего из какой-либо точки на оси сферической преломляющей поверхности. Коэффициент преломления среды по одну сторону поверхности равен n₁, а по другую – n₂.Радиус R сферической поверхности так велик, что углы α₁, α₂, α₃ и α₄ не превышают 8⁰. Согласно закону преломления (9.4, б) отношение

(9.8)

так как sin α₃ = α₃.

Из рассмотрения треугольников ОАх и ОАх' имеем

α₂ = α + α₁; α = α₃ + α₄. (9.9,а)

Подставляя (9.9, а) в (9.8), получим

n₁ ( α₁ + α) = n₂ ( α - α₄ ). (9.9,б)

Из рассмотрения этих же треугольников имеем

; ; . (9.9,в)

Подставляя (9.9, в) в (9.9, б), получаем

. (9.9, г)

Если устремить d → ∞, то мы узнаем, где пересекает ось x луч, параллельный Ox, после преломления в точке А:

(9.9, д)

где d' – фокус сферической преломляющей поверхности внутри среды с показателем n₂.

На рис. 9.8, б рассмотрен такой случай преломления сферической поверхностью, при котором после преломления луч устремляется по прямой, пересекающей ось Ох в точке, находящейся с той же стороны, что и точка излучения.

б

Рис. 9.8. Преломление луча на сферической границе двух сред: а – луч падает на выпуклую сторону границы;б – луч падает на вогнутую строну границы

Аналогично (9.9,г) получаем

, или . (9.10)

Используя соотношения (9.9) и (9.10), нетрудно установить фокус F в тонкой двояковыпуклой линзе (рис. 9.9).

При этом принимаем n₁ равным единице, а n₂= n. Окончательно получаем:

. (9.11)

Рис. 9.9. Двояковыпуклая линза

Таким образом, все параллельные лучи, попадающие на тонкую линзу, выходят из нее пучком прямых линий, пересекающихся на оси в одной точке, именуемой фокусом. Это обстоятельство позволяет довольно просто рассчитать изображение, создаваемое этим пучком.

На рис. 9.10 дано построение, иллюстрирующее этот расчет. Условно двояковыпуклая линза изображена отрезком со стрелками на концах.

Из подобия двух пар треугольников Oxy и Ox'y', а также Oy₁F и y'x'F (рисунок 9.10) имеем

(9.12,а)

Решая эту систему уравнений, находим:

(9.12, б)

Рис. 9.10. Получение изображения в двояковыпуклой линзе