П(х); г – формирование е0(х)

Между и , и существуют зависимости, которые выводятся из (8.18, з), (8.19, в, г и д):

(8.22, а)

Равенство (8.22, а) выполняется при любых значениях x и t, если

(8.22, б)

Интегрируя оба выражения (8.22, б) и отбрасывая постоянные интегрирования по высказанным выше соображениям, получаем

. (8.22, в)

Теперь (8.19, в и г) можно записать следующим образом:

(8.22, г)

Вектор Умова-Пойнтинга равен

(8.22, д)

где ; (8.22, е)

- вектор скорости распространения волны, численно определяемый (8.20) и направленный вдоль оси x.

8.4. Плоское синусоидальное электромагнитное поле в диэлектрике

В том случае, когда напряженность поля в начале его движения (т.е. в. точке x=0) синусоидальна, то и его волна тоже синусоидальна. Это значит, что выражения (8.22, в и г) можно переписать в виде

; (8.23,а)

(8.23,б)

где - амплитуды прямой и обратной волны, - начальные фазы этих же волн, k = ω / c – волновое число, ω – угловая частота этих волн:

Строго говоря, прямая и встречная волны могут быть возбуждены разными источниками и поэтому иметь разную форму и частоту. Но мы рассматриваем в этом параграфе случай с одинаковой частотой обеих волн.В этом случае в каждой точке поля величины Е и В колеблются с угловой частотой ω.

Рассмотрим случай, когда . Тогда из (8.23, а и б) получаем

; (8.24,а)

где ; . При выводе формул (8.24,а) использовалась известная теорема тригонометрии о сложении и вычитании двух синусоид [5].

Формулы (8.24,а) описывают стоячие волны. Действительно в точках ,… напряженность всегда равна нулю, а индукция B_z - максимуму, а в точках - индукция равна нулю, а - максимуму.Точки ,… именуются узлами электрического поля и пучностями магнитного, а …, - пучностями электрического поля и узлами магнитного.

Вектор Умова-Пойнтинга – вектор плотности энергии электромагнитного поля, распространяемой в единицу времени, два раза за полпериода изменяет свое направление:

(8.24 б)

Это значит, что энергия поля то перетекает из одного участка между двумя соседними пучностями и в находящиеся рядом такие же участки, то возвращается обратно.

8.5. Плоская электромагнитная волна в проводящей среде

Если применить допущения (8.18 а,б и в) к уравнениям Максвелла (8.11,а ÷ г), дополнив их соотношением

, (8.25, а)

то можно получить

. (8.25, б)

В системе уравнений (8.25,б) вновь произведём разделение переменных.Для этого сначала продифференцируем первое из этих уравнений по x, а второе по t и подставим одно в другое, затем, наоборот, второе на x, а первое на t. Окончательно получим:

(8.25,в)

Строго говоря, величина никогда не может быть равна нулю. Поэтому условие (8.25,а) следует принять, только если первое слагаемое правой части второго уравнения Максвелла значительно больше второго:

. ( 8.25, г)

Можно также использовать принцип суперпозиции, учитывая, что все полученные в этом параграфе формулы относятся лишь к части электромагнитного поля, а потом сложить их с выражениями, относящимися ко второму слагаемому правой части уравнения (8.11, в).

При выводе (8.25, б и в) по-прежнему, как и в § 8.4, учитывается, что вектора располагаются в плоскости (см. рисунок 8.3) и перпендикулярны друг другу. Доказательство этого здесь не повторяется, так как оно идентично вышеприведенному. Оси Y и Z направляем также вдоль векторов Ē, и принимаем далее, что их волны синусоидальны:

(8.26,а)

Следует подчеркнуть, что входящие в формулы (8.26,б) характеристики синусоид зависят от x:

E_m =E_m(x);B_m=B_m(x);ψ₁= ψ₁(x),ψ₂= ψ₂(x).

С учётом сказанного ищем решение уравнений (8.25,в) в форме:

(8.26,б)

где p – оператор, подлежащий определению. Подставляя (8.26,б) в (8.26, а), находим, что оба последних выражения являются решением (8.26, а), если

(8.26,в)

Как видим, по мере проникновения волны в проводящую среду, т.е. увеличения x, напряженность электрического поля, а вместе с ней и индукция магнитного – см. (8.26, б), уменьшаются по экспоненциальному закону.

Скорость распространения поля согласно (8.25,б) равна:

с_γ=ω/p= . (8.26,г)

Итак,получаем,что имеется еще, по крайней мере, три основных отличия поля в проводящей среде от поля в диэлектрике.

1. Синусоида магнитной индукции в проводящей среде отстает по фазе от синусоиды напряженности электрического поля на четверть периода, что следует из формулы (8.26, б).

2. Скорость волны электромагнитного поля в проводящей среде зависит от частоты – чем больше частота, тем больше скорость.

3. Скорость распространения плоской волны в проводящей среде значительно меньше скорости распространения в диэлектрике, так как

,

что следует из соотношения (8.25, г).

4. По мере углубления волны в проводящую среду ее энергия уменьшается - величина вектора Умова-Пойнтинга с ростом x падает по экспоненте:

(8.27)

Энергия поля расходуется на джоулево тепло. Это обстоятельство широко используется в технике, в частности, в технологиях индукционного нагрева. Применяется это свойство и для экранирования каких-либо объектов от проникновения электромагнитного излучения. Действительно, если выбрать толщину проводящей пластины равной

, (8.28)

то величина вектора П уменьшится в е⁴ = 54,6 раз.