1.2. Вращательное движение матери­альной точки

На рис. 1.2 изображена в системе координат траек­тория вращательного движения материальной точки. Для удобства рассмотрения эта траектория выбрана в плоскости . Cначала будем предполагать, что вращение точки равномер­ное, т.е. скорость по своей абсолютной величине не ме­няется. Как видно из графика рис. 1.2, векторы скоростей и образуют равнобедренный треугольник М(t+Δt)-v(t+Δt)-v(t). Этот треугольник подобен равнобедренному треугольнику О-М(t+Δt)-М(t), образованному радиус–векторами .

Поэтому угoл между и - такой же, как и между и Из этого же рисунка видно, что перпендикулярна средней ско­рости образует высоту (медиану, биссектрису угла при вершине) треугольника M(t+Δt)-v(t+Δt)-v(t). Поскольку ускорение точки М равно находим из рассмотрения этого треуголь­ника

, (1.5,а)

Рис. 1.2. К расчёту основных характеристик вращательного движения

где

- угловая скорость вращающейся точки. При выводе фор­мулы (1.5,а)учитывалось, что

если (во всяком случае, если , то отличается от менее, чем на 0,5%). Из рас­смотрения треугольника О- М(t+Δt)- М(t) находим, что противоположная этому углу сторона

(1.5,б)

Формулы (1.5,а и б) позволяют рассчитать величину уско­рения и скорости , однако при этом остается невыясненным их направление. Учитывая, что ускорение направленно перпен­дикулярно скорости ,а сама скорость перпендикулярна радиусу–вектору , целесообразно использовать такую математическую операцию, которая реализует поворот вектора на 90⁰. Такой операцией явля­ется векторное произведение [5].

В общем виде векторное произведение записывается так (рис. 1.3,а):

(1.6)

где - вектор, перпендикулярный плоскости, в которой на­ходятся вектора и , величина которого равна где - угол между и . Направление вектор так, что если смотреть с его конца на плоскость , поворот от вектора к вектору происходит против часовой стрелки. В ча­стности, орт ; орт ; и орт . Угло­вую скорость преобразуют в вектор , расположенный пер­пендикулярно вращению вектора (в данном случае – плоскости ) так, чтобы направление вращения виделось с конца про­тив часовой стрелки (рис. 1.3,б). Сопоставляя (1.5,а и б) с (1.6) можно заключить, что

, , (1.7,а)

А вектор угловой скорости можно вычислить по обратной (1.7,а) формуле:

(1.7,б)

Ускорение , как видим, направлено вдоль радиуса-вектора к центру окружности вращения. Поэтому оно именуется центростремительным. Противоположное ему по направлению ускорение именуется центробежным.

Рис. 1.3. Векторное произведение двух векторов (а) и