8.3. Плоское электромагнитное поле в диэлектрике

Рассмотрим частный случай электромагнитного поля в диэлектрике (т.е. при γ=0 и δ=0), у которого ; ; ; .

Такое поле именуется плоским, так как вектора и в любой точке А плоскости Y’O’Z’, параллельной координатной YOZ, неизменны (см. рис. 8.3). Строго говоря, достаточно задать только вдоль плоскости Y’O’Z’, и из уравнений Максвелла получится постоянство вдоль этой плоскости векторов . Мы опускаем здесь этот вывод ввиду его тривиальности.

Для плоского поля следует

. (8.18, а)

(8.18, б)

Рис. 8.3. Графическое изображение

Плоской электромагнитной волны в диэлектрике

Из (8.4), (П.2) и (8.7) получаем

,

т.е.

вдоль всей оси x.

Учитывая, что и для магнитного, и для электрического поля справедлив принцип наложения, отбросим эти постоянные составляющие напряженности и индукции , заранее зная, что они никакого влияния на переменные электромагнитные процессы не окажут. Тогда можно считать, что

(8.18,в)

и, следовательно, вектора и располагаются в плоскости Y’Z’O’ .Из первого и второго уравнений Максвелла с учетом(8.18, а, б, в), получаем

; (8.18,г)

(8.18,д)

Из формул (8.18, г) и (8.18, д) следует, что ┴ .

Действительно, повернем оси Y и Z вокруг оси X так, чтобы вектор совпал с осью Y. Тогда из формул (8.18,г и д) следует - вектор - направлен вдоль оси Z:

; (8.18,е)

. (8.18,ж)

Сами уравнения (8.18, г и д) упростятся

(8.18, з)

Продифференцируем оба этих уравнения сначала по x, а затем по t:

; (8.18, и)

(8.18, к)

а затем исключим составляющие, продифференцированные совместно по x и t. Получим:

; (8.19, а)

(8.19, б)

Уравнения (8.19, а и б) (именуемые волновыми) совершенно одинаковы, что свидетельствует о том, что и изменяются во времени и пространстве в случае плоской волны идентично.

Согласно теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными, решение уравнений (8.19,а и б) следует искать в виде:

; (8.19, в)

(8.19, г)

где E₀, E_П, B₀, B_П – произвольные функции от аргументов, стоящих в скобках, а с – произвольный коэффициент. Выбор индексов «0» и «П» будет объяснен ниже.

Для того, чтобы убедиться в том, что именно эти функции являются решениями волновых уравнений (8.19, а и б), подставим их туда, предварительно продифференцировав. Как это делается, покажем лишь на E_y:

следовательно,

; ; (8.19,д)

(8.19,е)

(8.19, ж)

(8.19, з)

Подставляя (8.19 ж, з, и) в (8.19, а),убеждаемся в том, что (8.19, в) действительно есть решение волнового уравнения при условии, что

или (8.20)

Разберемся в том, что же такое с. На рисунок 8.4, а показана зависимость в два момента времени t и t+δt. Нетрудно заключить, что

если .

Получается, что кривая E_П (x), не меняясь, двигается в сторону увеличения значения x со скоростью

(8.21)

Иными словами, величина с – скорость движения электромагнитной волны вдоль оси x в сторону увеличения x. Аналогично, согласно рисунку 8.4,б кривая двигается в сторону уменьшения x с той же скоростью. Естественно, что слагаемое названо прямой волной, а - обратной. Отсюда и индексы.

На рисунке 8.4, в показано, как получается форма волны . Зависимость в начале движения волны (x=0) в виде последовательно «двигающихся» друг за другом «ординаток» выдавливается в точке x=0 в следующее за этой точкой вправо пространство и начинает двигаться вдоль оси x со скоростью с. Таким образом, волна воспроизводит в пространстве кривую в начале волны.

Аналогично кривая соответствует зависимости в конце плоского электромагнитного поля (т.е. при x = x_k, рисунок 8.4, г).

Рис. 8.4. Движение плоской электромагнитной волны в пространстве:

а – движение Е_П(х); б – движение Е₀(х); в – формирование Е