8.2. Теорема Умова–Пойнтинга

Предположим, в некотором объеме V, в какой – то момент времени имеется электромагнитное поле. Энергия этого поля складывается из энергии электрического и магнитного поля

(8.11)

где Е и B – напряженность электрического и индукция магнитного поля в объеме dV.

Сумма изменяется, превращаясь, во–первых, в тепловую энергию путем потерь по закону Джоуля–Ленца и, во-вторых, часть энергии излучается через поверхность S, отделяющую объем V от окружающей среды. Величина потерь согласно (8.7, в) равна

(8.12)

Мощность излучения Р_и, таким образом, равна

(8.13)

Формула (8.13) есть ничто иное, как закон сохранения энергии для электромагнитного поля в объеме V. Подставляя в (8.13) и из (8.12) (8.13), получим

(8.14)

Сравнивая первые два слагаемых, стоящих в квадратных скобках правой части (8.14) с формулой (8.7), получаем

(8.15)

Третье слагаемое в этих скобках согласно (8.4) равно

(8.16)

Подставляя (8.15) и (8.16) в (8.14), получаем

Согласно (П.10), выражение, стоящее в квадратных скобках равно

.

Согласно теореме Гаусса (П.13)

Следовательно, мощность излучения электромагнитного поля через поверхность S равна

(8.17,а)

Вектор , равный

(8.17,б)

именуется вектором Умова-Пойнтинга. Поток этого вектора через замкнутую поверхность S и есть согласно (8.17,а) мощность излучения электромагнитного поля из объема V:

(8.17, в)

Пример 8.1. На рисунке 8.2, а изображена двухпроводная линия. Построим вектор Умова–Пойнтинга в средней точке между проводами на расстоянии x от начала линии. Напряженность поля (где d – расстояние между проводами) направлено от положительно заряженного провода к отрицательному, а магнитная индукция В – перпендикулярно вектору за плоскость рисунка. По правилу векторного произведения направлен параллельно проводам от источника энергии тока к приемнику. Не вдаваясь в точные математические расчеты (они достаточно просты, но громоздки), можно заключить, что энергия электромагнитного поля от источника к нагрузке передается не по проводам, а по полю между ними. Роль же проводов – направлять это движение электромагнитной энергии в необходимую точку пространства. Иными словами, провода физически играют роль рельс в железнодорожном транспорте, только вместо состава по ним движется электромагнитная энергия.

Рис. 8.2. Поток вектора Умова–Пойнтинга

Двухпроводной линии (а) и круглого провода (б)

Пример 8.2. На рисунке 8.2, б изображен участок провода, по которому течет ток i. Напряженность поля в проводнике вблизи поверхности направлена вдоль тока i, так как (см. 8.7, б). Магнитная индукция направлена по касательной к цилиндрической поверхности провода перпендикулярно . Отсюда следует, что вектор направлен перпендикулярно к поверхности внутрь провода.

Как видим, электромагнитная энергия поступает в провод снаружи, из межпроводного пространства и расходуется внутри первого на джоулевы потери, т.е. на нагрев. Это обстоятельство также подтверждает тот факт, что провода не служат прямым передатчиком электроэнергии.