Векторами: а – единичный вектор во вращающейся системе координат;

б – векторное изображение сопротивлений , R , jX;

в – взаимное расположение векторов и в комплексной плоскости

Его проекции на действительную и мнимую ось равны соответственно R и x.

Угол φ может быть либо больше нуля (0 ≤ φ ≤ ), если x ≥ 0, либо меньше нуля (0 ≥φ ≥ - ), если x ≤ 0. Все зависит от соотношения между индуктивным и емкостным сопротивлениями.

Если:

, (7.17, а)

то

. (7.17, б)

Такая ситуация именуется резонансной.

Резонанс в электрической цепи используется, в частности, в радиотехнике. Действительно, при частоте ω, близкой и равной резонансной, ток I значительно больше, нежели при других значениях ω. Все зависит от добротности цепи d, т. е. отношения

(7.17,г)

так как

.

Участок кривой I(w), заключенный в пределах

,

именуется полосой пропускания.

На этом участке ток I лежит в пределах

7.4. Переменная синусоидальная эдс. Законы Ома и Кирхгофа в комплексном виде

На рисунке 7.8, а дано схематическое изображение устройства, генерирующего синусоидальное напряжение. Оно состоит из прямоугольного контура, вращающего в равномерном магнитном поле. Концы контура подсоединены к контактным кольцам, вращающимся вместе с ним вокруг той же оси. Эти кольца с помощью скользящи по ним неподвижным, контактным щеткам подсоединены к внешней цепи. Пренебрегая падением напряжения в этих контактах, можно принять, что напряжение u между щетками равно

u = e, (7.18, а)

где е - ЭДС, наводимая в контуре.

В свою очередь,

(7.18, б)

где В – индукция магнитного поля, в котором вращается контур, S=lτ (l и τ – размеры контура), ω – угловая скорость вращения, ωt – угол поворота контура относительно плоскости, перпендикулярной силовым линиям магнитного поля, γ – произвольная начальная фаза.

Рис. 7.8. Генератор переменной ЭДС (а), его схематическое обозначение (б)

И участок цепи синусоидального тока (в)

Как видим, действительно, ЭДС, наведенная в контуре нашего генератора, синусоидальна

, . (7.18, в)

7.5. Переходные процессы в электрических цепях

Словом «коммутация» в теории электрических цепей именуется такое их изменение, при котором в них появляется или из них исключается одна ветвь (рисунок 7.9). При этом обязательно должны оставаться неизменными:

1) ток через катушку индуктивности:

(7.19, а)

где и - время до и после коммутации;

2) суммарная м.д.с. всех катушек, связанных взаимной индуктивностью:

; (7.19, б)

3) напряжение на конденсаторе:

(7.19,в)

Рассмотрим несколько характерных случаев.

На рисунке 7.9, а изображено включение ветви R – L к источнику постоянного напряжения U. Стрелка на коммутаторе показывает направление движение подвижного контакта, в данном случае обозначено замыкание цепи.

Изменение тока в цепи описывается уравнением:

. (7.20, а)

Рис. 7.9. К расчёту переходных процессов в электрических цепях:

а, г – при включении цепи R-L; б, д – при включении в цепи R-C;

в, е – при коротком замыкании цепи R-L-C

Это уравнение является неоднородным линейным дифференциальным уравнением 1-ого порядка.

Решение его ищем в виде

(7.20, б)

где А – постоянная интегрирования, p – оператор.

Задача сводится к определению А и p.

Для этого подставим (7.20, б) в (7.20, а)

(7.20, в)

Кроме этого, следует учесть условие коммутации (7.19,а). Поскольку до включения ток через катушку индуктивности L был до включения коммутатора равен нулю, записываем (7.20, б):

А = - U/R; (7.20, г)

R+pL=0;

Подставляя (7.20, в и г) в (7.20, б),

, (7.21)

где τ = L/R – постоянная времени.

На рис. 7.9, г изображена кривая изменения тока в этой ветви, соответствующая (7.23). Как видим, ток по экспоненте приближается к установившемуся значению

.

Хотя i не достигает, согласно этого графика, I_уст никогда, уже через интервал времени Δt=(3÷4)он будет отличаться от I_уст всего на 5÷2%. Поэтому считается, что время переходного процесса длится (3÷4)τ. Величину τ графически можно определить, проведя касательную к кривой тока i в точке t=0 и найти момент пересечения этой касательной с горизонтальной прямой i=U/R. Этот момент и равен τ.

Рассмотрим переходный процесс зарядки конденсатора С (рис. 7.9, б). Ток через этот конденсатор равен

, (7.22, а)

а закон Ома запишется в виде

(7.22, б)

Как видим, переходный процесс и в этом случае описывается неоднородным линейным уравнением первого порядка, только не относительно i, а относительно u_c. Проделав все те же математические выкладки, что и в отношении i в случае R – L, получаем

,

где

. (7.22, в)

На рис. 7.9, д приведены графики изменения u_с и i при зарядке конденсатора. Как видим, и здесь переходный процесс заканчивается через (3÷4)τ.

На (рис. 7.9, в) изображена цепь R – L – C, в которой после ее замыкания накоротко происходит разрядка конденсатора, предварительно заряженного до . Уравнения этой цепи следующие

. (7.23, а)

Делая подстановку i из второго уравнения системы (7.23, а) в первое, получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

. (7.23, б)

Решение этого уравнения ищем в виде

. (7.23, в)

Величины p₁ и p₂ находим, делая подстановку

(7.23, г)

в (7.23, б). Но предварительно произведем следующую замену

. (7.23, д)

В результате получаем

. (7.23, е)

Как видим, уравнение контура R-L-C полностью совпадает с уравнением движения физического маятника (2.40, в). Следовательно, характер изменения u_c (t) такой же, как и φ(t). На рис.7.9, д,е показано, как изменяется ток при разрядке конденсатора в случае апериодического и периодического процесса.