7.3. Переменный синусоидальный ток

Переменный синусоидальный ток описывается формулой

, (7.5)

где I_m – амплитуда тока, (ωt + ψ)– его фаза, ω[1/c] – угловая частота, ψ – начальная фаза.

Угловая частота определяется соотношением:

, (7.6)

где f [Гц] – частота, Т – период изменения тока (рисунок 7.3, а). Чтобы отличать более четко угловую частоту от частоты, последнюю измеряют в герцах (Гц), а первую в [1/секунду], хотя физически никакой разницы нет.

Рис. 7.3. Синусоидальный ток в резисторе:

а – зависимость i(t), б – резисторный участок цепи

Напряжение на обычном резистивном сопротивлении R равно:

. (7.7, а)

Между амплитудами I_m и U_m имеет место обычное соотношение закона Ома:

. (7.7, б)

Мощность, теряемая электрическим током в резисторе R (т.е. превращаемая в теплоту), равна

. (7.8, а)

Как видим, мощность в резисторе пульсирует с двойной частотой от 0 до максимального значения, равного . Среднее за период значение мощности в резисторе равно

. (7.8, б)

Если заменить , то получим

, (7.8, в)

т.е. ничем не будет отличаться от закона Джоуля – Ленца для постоянного тока. Поэтому на практике используют не амплитуды U_m и I_m, а уменьшенные в раз величины U и I, которые именуют действующими (эффективными) значениями напряжения и тока.

В частности, применяемые в промышленной сети стандартные напряжения 220В, 380В, 660В и т.д. относятся к действующим значениям.

На рис. 7.4, а изображена катушка индуктивности L. Если ток через нее синусоидальный (7.5), то напряжение равно

. (7.9)

Как видим, напряжение на катушке индуктивности также синусоидально и с той же частотой, что и ток, причём амплитуда его равна:

. (7.10, а)

Начальная фаза напряжения больше и_L начальной фазы тока ψ на 0,5π = 90⁰. Иными словами, напряжение и_L опережает ток i на четверть периода, а амплитуда напряжения пропорциональна амплитуде тока .

Рис. 7.4. Синусоидальный ток в катушке индуктивности:

а – участок цепи с катушкой индуктивности; б – зависимости i(t) и u(t)

По аналогии с (7.7, б) величину ωL можно считать неким сопротивлением катушки индуктивности или индуктивным сопротивлением:

. (7.10, б)

Подставив (7.10, б) в (7.10, а) и разделив правую и левую часть на , получим

. (7.10, в)

Из формулы (7.10,в) можно было бы сделать вывод, что и для катушки индуктивности справедлив закон Ома, если бы не два обстоятельства:

1. Формула (7.10, в) не учитывает различие в фазах напряжения и тока i (рисунок 7.4, б);

2. Мощность , расходуемая на катушке индуктивности, не рассеивается (превращается в тепловую), а с частотой, в два раза большей частоты тока, то накапливается в катушке, то возвращается источнику (рисунок 7.4, в):

(7.10, г)

Средняя за период мощность , расходуемая в катушке индуктивности, равна нулю:

Поэтому величину именуют реактивным сопротивлением, а R – активным сопротивлением, подчеркивая тем самым, что ограничивает величину тока, но при этом не потребляет мощности.

Для того чтобы в зависимости напряжения и тока учесть сдвиг фаз между ними, используют [4] изображение синусоидальных величин комплексными числами:

(7.11, а)

где , а знак → является знаком соответствия комплексного числа синусоидальному.

Синусоидальная величина а в этом преобразовании именуется оригиналом,а комплексная -его изображением.

Замена вытекает из базового соотношения для комплексных чисел – уравнение Эйлера:

(7.11, в)

(7.11, г)

Преобразование (7.11,а) обладает свойствами, данными в таблице 7.1.

Таблица 7.1

Оригинал	Изображение
Amsin (ωt + ψ)	Ae j ψ
Am (ωt + ψ)	jAe j ψ
B · Amsin (ωt + ψ)	B Ae j ψ
Am1sin (ωt + ψ 1) + Am2sin (ωt + ψ2)	A1e j ψ 1 + A2e j ψ 2
[Amsin (ωt+ψ)]	jωAe j ψ
	Ae jψ/jω
Am	A

Если применить преобразование (7.11,а) к току i (7.5) и напряжению u_L (7.9), получим

, (7.12,а)

где

, , (7.12, б)

так как согласно (7.11,г) .

Сравнивая (7.12, а) с (7.10, в) нетрудно заключить, что сдвиг фаз между током i и напряжением u_L учитывается величиной j.

На рисунке 7.5, а изображен конденсатор с емкостью С, напряжение на котором изменяется по синусоидальному закону:

(7.13)

Ток через конденсатор равен

(7.14, а)

Как видим, ток через конденсатор также синусоидальный, причем опережает синусоиду напряжения на четверть периода (рис.7.5, б). Используя комплексное изображение, записываем

. (7.14, б)

Из (7.14, б) получаем

, (7.14, в)

так как

Рис. 7.5. Синусоидальный ток через конденсатор:

а – участок цепи с конденсатором; б – зависимости i(t) u u(t)

Величина (7.14, г)

называется емкостным реактивным сопротивлением.

Потеря мощности на конденсаторе, так же как и в катушке индуктивности, изменяется с двойной частотой:

, (7.14, д)

а ее среднее за период значение равно нулю.

Используя соотношения (7.7,б), (7.12,а) и (7.14,в) и таблицу 7.1., записываем зависимость между напряжением и током цепи R – L – C (рис. 7.6):

(7.15)

Величина

(7.16, а)

именуется комплексным сопротивлением цепи R – L – C. При этом модуль этого сопротивления

(7.16, б)

а аргумент φ

. (7.16, в)

Рис. 7.6. Участок цепи R-L-C

Формулы (7.15) и (7.16,а) можно для наглядности изобразить графически. Для этого используется комплексная плоскость рис. 7.7, а, основанная двумя взаимно–перпендикулярными линиями. На горизонтальной откладываются действительные составляющие комплексных чисел, а на вертикальной – мнимые.

Если на этой плоскости провести окружность единичного радиуса с центром в точке пересечения координатных осей О, то она будет характеризовать собой геометрическое место концов векторов e ^jγ. Любые другие комплексные числа Å на этой плоскости изображаются векторами, модуль которых равен модулю комплексного числа А, а угол α поворота относительно горизонтальной (действительной) оси – аргумент этого числа. В частности, комплекс изображен на рисунке 7.7, б.

Рис. 7.7. Изображение синусоидальных величин комплексными числами и