7.2. Законы Кирхгофа для разветвленной цепи

На рисунке 7.2 изображена произвольная разветвленная электрическая цепь. Она характеризуется следующими топологическими элементами:

–

Рис. 7.2. Произвольная разветвленная электрическая цепь

(К описанию законов Кирхгофа)

ветвь: последовательное соединение ЭДС и сопротивления, по которым протекает один и тот же ток;

– узел: точка цепи, в которой сходится не менее трех ветвей;

– контур: последовательное соединение узлов и ветвей, берущее начало и заканчивающееся в одном и том же узле. Ни один узел, кроме первого, и ни одна ветвь не входит в контур дважды. Поскольку ни в одном из узлов схемы не происходит накопления зарядов, можно записать:

(7.3)

где - число ветвей, сходящихся в данном узле, k – номер одной из этих ветвей. Сумма (7.3) – алгебраическая: если ток направлен в узел, то он берется со знаком «плюс», а если из узла – то «минус». Например, для узла III рисунка 7.2 можно записать

I₃–I₄–I₅ =0.

Соотношение (7.3) именуется первым законом Кирхгофа. Всего можно написать независимых (У–1) уравнений первого закона Кирхгофа (У – число узлов ветви). Например, для схемы рисунок 7.2 можно написать 4 уравнения, хотя узлов 5. Дело в том, что уравнение для узла «0» может быть получено из уравнений для узлов I, II, III, IV путем исключения токов I₃ и I₈ из них. А это значит, что это уравнение не является независимым.

Согласно формуле (5.8) работа по перемещению единичного заряда по замкнутому контуру равна нулю. В соответствии с этим делаем заключение, что

(7.4, а)

где N_в – число ветвей, входящих в какой – либо выбранный контур; U_k – напряжение на к – той ветви выбранного контура. Обход по замкнутому контуру можно производить в любом направлении – по или против часовой стрелки. Обычно для определенности выбирают обход по часовой стрелке.

Заменяя значения U_k в формуле (7.4, а) на разность (I_k R_k – E_k) в соответствии с законом Ома (7.1), получим

(7.4, б)

Справа и слева в формуле (7.4, б) алгебраические суммы: ток I_k и ЭДС E_k берутся со знаком «плюс», если их направления совпадает с направлением обхода и со знаком «минус» в противоположном случае. Уравнение (7.4, б) именуется вторым законом Кирхгофа. Например, для контура (I–1–II–3–III–5–IV–6–0–7- I) уравнение (7.4, б) имеет вид:

I₁ R₁ + I₃ R₃ + I₅ R₅ + I₆ R₆ + I₇ R₇ = E₁ + E₃ + E₅.

Направление токов в ветвях при расчете по 1 и 2 законам Кирхгофа первоначально выбирается произвольно. Если при этом была допущена ошибка, в ответе соответствующий ток получается со знаком «минус». Всего уравнений по 2 закону Кирхгофа следует составить не более чем (В–У +1), где В – число ветвей цепи, У – число узлов.

При этом очень важно, чтобы в полученную таким образом систему уравнений вошли все ветви цепи. Лучше всего выбирать контуры по границам «ячеек». Под ячейками подразумеваются многогранники, на которые разбита плоскость рассчитываемой цепью. Однако не всякая электрическая цепь может быть изображена на плоскости так, чтобы ветви не пересекали друг друга. В этом случае сначала составляются уравнения (7.4, б) для контуров, расположенных на плоскости, а затем они дополняются уравнениями, включающие ветви, не уложившие на плоскости.