Раздел первый. Механика глава первая. Кинематика

1.1. Материальная точка и основные характеристики ее движения

Основными характеристиками движения материальной точки яв­ляются траектория, путь, расстояние, скорость, ускорение. Саму материальную точку М(t) в некоторый момент времени обычно определяют как конец радиуса-вектора Ř(t), проведенного из начала координат O (рис. 1.1). Сама система координат [X, Y, Z] выбирается произвольно – так, чтобы удобно было осу­ществлять расчеты характеристик движения материальной точки. Проекции радиуса-вектора Ř(t) - х,y,z - одновременно являются координатами изображаемой им материальной точки М:

(1.1)

Рис. 1.1. Траектория движения материальной точки в прямоугольной

Декартовой системе координат

Напомним, что – орты, т.е. единичные вектора, направленные соответственно вдоль осей X,Y,Z.

Траекторией именуется кривая М'М" , которую описывает в пространстве материальная точка М в процессе своего движения. На рис. 1.1 показано положение точки М в моменты времени t и t +Δt. Длина отрезка прямой, соединяющей точки М(t) и М(t+Δt),именуется расстоянием между этими двумя точ­ками. С другой стороны, под расстоянием понимают модуль вектора , представляющего собой разность радиус-векто­ров и

( 1.2,а)

Отношение к интервалу времени ∆t, в течение кото­рого материальная точка переместится от М(t) к М(t+Δt) тра­ектории МۥМ^,ۥۥ , называется средней скоростью:

(1.2,б)

В общем случае эта скорость меняется в зависимости от того участка траектории, движение вдоль которого изучается. Поэтому вводится понятие мгновенной скорости или просто скорости, как предела:

(1.2,в)

Нетрудно заметить, что скорость v направлена по касатель­ной к траектории М'М".

Путь s, который проделывает вдоль траектории материаль­ная точка в процессе движения, складывается из расстояний, ко­торые она проходит на отдельных участках:

(1.2,г)

В общем случае скорость v (t) изменяется во время движе­ния. Это изменение характеризуется ускорением :

(1.3,а)

Если движение равномерно-ускоренное, то К та­ким движениям относятся свободные падение тел под действием земного тяготения, равномерное вращение колеса или карусели, земли вокруг солнца, луны вокруг земли и многие другие виды движения из привычной для нас жизни. Однако возможны движе­ния и с переменным ускорением, например, при колебаниях маят­ника, распространении волн на поверхности воды.

В этом случае ускорение определяется производной:

. (1.3,б)

Скорость _ср. при равномерно - ускоренном движения равна

(1.3,в)

Из формул (1.2,а),(1.2,б) и (1.3,в) получаем общую формулу равномерно-ускоренного движения материальной точки:

(1.4)