6.3. Закон полного тока

Основным соотношением, используемым в инженерных расчетах магнитных полей, является закон полного тока.

На рис. 6.6, а изображена система из трех проводников с током, пронизывающих некоторую произвольную поверхность S, границей которой является контур l (для общности принято, что число проводников, охваченных контуром l, больше, чем на рисунке 6.4, а и равно не 3, а N). Это свойство именуется законом полного тока.

(6.10)

Доказательство. Рассмотрим сначала поле прямолинейного тока i (рисунок 6.4, б). Окружим его произвольным контуром l. Разобьем этот контур на отдельные участки . Произведение для каждого такого участка равно

, (6.11, а)

Рис. 6.6. Закон полного тока: а – общий случай; б – поле одного прямолинейного проводника; в – поле нескольких прямолинейных параллельных проводников

где α – угол между вектором (который, как показано в предыдущем параграфе, перпендикулярен радиус-вектору от проводника к середине отрезка ), - вектор, параллельный и лежащий вместе с вектором в плоскости, перпендикулярной проводнику i, – угол поворота вектора вокруг оси проводника i при перемещении его конца от начала к концу участка . Суммируя эти выражения для всех участков замкнутой кривой l, получаем

(6.11,б)

Заметим, что данное доказательство справедливо, независимо от того, лежит ли контур l в плоскости, перпендикулярной проводнику, или он расположен произвольно в пространстве.

На рисунке 6.6, в контур l охватывает N (N=3) параллельных прямолинейных проводников. Для него

,

что совпадает с (6.10).

Доказательство для случая, когда проводник с током i₁ представляет собой произвольную замкнутую кривую линию l_1, требует определенного пространственного воображения. Поэтому вполне можно ограничиться доказательством, приведенным выше.

4. Магнитное поле торроидальной катушки

Одним из наиболее важных примеров использования закона полного тока является расчет магнитного поля торроидальной катушки (рисунок 6.7). Сердечник со средним диаметром D и сечением S изображен на этом рисунке условно: предполагается, что магнитные свойства сердечника ничем не отличаются от вакуума. В дальнейшем этот рисунок будет использован для расчета магнитного поля терроидальной катушки с сердечником, обладающим отличными от вакуума магнитными свойствами.

Рис. 6.7. Торроидальная катушка

Вновь применим принцип симметрии и учтем,что силовые линии магнитного поля представляют собой концентрические окружности с центром в оси торроида О.

Вектора магнитной индукции направлены по касательной к этим окружностям, а их величина вдоль этих линий не меняется.

где w – число витков катушки. Магнитная индукция В вдоль средней силовой линии диаметра D равна

(6.12)

Если размеры поперечного сечения торроида во много раз меньше диаметра D:

(6.13)

где S – площадь поперечного сечения торроида, то можно принять, что магнитный поток внутри катушки равен

(6.14)

Произведение

(6.15)

именуется магнитодвижущей силой катушки (м.д.с.), а величина

(6.16)

магнитной проводимостью (обратная ей величина - магнитным сопротивлением). С учетом (6.15) и (6.16) выражение (6.14) имеем вид

(6.17)

и именуется законом Ома для магнитной цепи. Аналогия с обычным законом Ома предполагает следующее соответствие:

поток ток i;

м.д.с. э.д.с. е;

сопротивление сопротивление R;

проводимость проводимость g;

сечение сердечника S сечение провода s;

длина сердечника l длина провода l;

магнитная проницаемость удельная проводимость γ.

Направление магнитного потока в катушке определяется правилом правой руки: магнитный поток внутри катушки направлен туда, куда указывает большой палец правой руки, если остальные пальцы этой руки наложены на катушку, а их концы совпадают с направлением тока в ее витках.