5.6. Электростатическая индукция. Теорема Гаусса-Остроградского для поля в разнородной среде

Зависимость поля от диэлектрических свойств среды существенно усложняет решение задач по его расчету.

Этой сложности можно избежать, если ввести вспомогательную расчетную величину , именуемую электростатической индукцией:

. (5.29)

Нетрудно убедиться, заменив во всех формулах этой главы , что диэлектрическая проницаемость , обусловленная, связанными зарядами из них исчезает. А это значит, что зависит только от геометрии расположения свободных зарядов и не зависит от свойств среды.

В частности, если поле создается в разнородной среде совокупностью свободных зарядов (рис. 5.10), то теорему Гаусса - Остроградского для произвольной замкнутой поверхности можно записать в виде

(5.30)

Рис. 5.10. К доказательству теоремы Гаусса–Остроградского

В разнородной среде

где

(5.31)

Вектор проведен из заряда в ту точку поверхности S, в которой измеряется (на рисунке 5.10 – точки А).

5.7. Энергия электростатического поля

Как указывалось в § 2.4, в классической физике энергия существует в двух формах: либо в виде кинетической энергии движения физических объектов, либо в виде потенциальной, т.е. в скрытом виде энергии поля взаимодействия, которая обнаруживается путем изменения скорости движения этих объектов.

Электростатическое поле также обладает потенциальной энергией. Для того чтобы вычислить ее характеристики, вновь рассмотрим плоский конденсатор (рис. 5.11).

Пластины +q и -q притягиваются силами и , где согласно (5.18, б)

(5.32)

Рис. 5.11. К расчету энергии электростатического поля плоского конденсатора

(При записи формулы (5.32) принималось, что заряд +q находился в поле заряда -q, а заряд -q – в поле +q, а также q=σЅ, где S - площадь пластины). Силы и равны:

(5.33, а)

Если пластины q и -q ничего не удерживает, то под действием этих сил они должны сближаться. При этом будет совершена работа, равная произведению

(5.33, б)

Формула (5.33, б) выводилась, исходя из допущения, что электрод -q неподвижен, а электрод +q движется по направлению к нему под действием силы .

Согласно закону сохранения энергии, работа равна потенциальной энергии электростатического поля конденсатора до начала сближения:

. (5.33, в)

Следовательно

(5.33, г)

Учитывая (5.21), можно формулу (5.33, г) записать в следующих двух видах

. (5.33, д)

Коэффициент пропорциональности C между напряжением и зарядом q именуется емкостью конденсатора:

. (5.34)

С учетом (5.34) имеем

, (5.35)

так как для плоского конденсатора

, (5.36)

в чем нетрудно убедиться, сопоставляя (5.33, г) и (5.33, д) с (5.35).

Формула (5.35) носит универсальный характер, т.е. справедлива для конденсатора с любой конфигурацией электродов. Доказательство этого потребовало бы от нас привлечение более сложного математического аппарата, что в рамках данного курса вряд ли целесообразно. Потенциальную энергию электростатического поля можно считать равномерно распределенной по всему объему диэлектрика, расположенного между электродами +q и -q. Поэтому можно принять, что в единице объема

(5.37)