Бесконечной длины: а – выбор замкнутой поверхности;

б – к расчету разности потенциалов между точками А и В

В силу симметрии все векторы напряженности поля направлены вдоль радиусов – векторов, исходящих из однопроводной линии перпендикулярно ей. Также в силу симметрии величина напряженности на одном и том же расстоянии от провода одна и та же, независимо от направления вектора .

Учитывая это обстоятельство, окружим участок провода длиною цилиндром, ось которого совпадает с проводом, торцы пересекают провод в концах выбранного участка, а радиус боковой поверхности равен . Применим к замкнутой поверхности, образованной цилиндром, теорему Гаусса-Остроградского.

(5.12, а)

В выкладках (5.12, а) учтено, что поток вектора через торцевые поверхности цилиндра равен нулю, так как все вектора на этих поверхностях перпендикулярны всем векторам . И, напротив, вектора на боковой поверхности цилиндра (в формуле (5.12) она условно обозначена буквой «ц») совпадают по направлению с и поэтому . Из формулы (5.12, а) следует

(5.12, б)

и, в векторной форме

(5.13)

Как видим, в отличие от единичного заряда, напряженность поля однопроводной линии убывает обратно пропорционально первой степени расстояния от источника поля.

Для того чтобы найти разность потенциалов между произвольными точками А и В поля заряженной линии, проделаем следующее построение. Проведем вокруг провода цилиндры – А и В радиуса R_А и R_B (R_Aи R_B - расстояния от провода до точек А и В (рисунок 5.4, б). Затем переместим пробный единичный заряд из точки В в точку , расположенную на цилиндре В на пересечении с лучом, проведенным через точку А перпендикулярно заряженному проводу. Работа по перемещению заряда на этом участке равна нулю, так как сила, действующая на него, перпендикулярна этому перемещению.

Работа на участке от до А равна

(5.14, а)

Следовательно,

(5.14, б)

Пример 2⁰. Поле шарового (сферического) заряда. Вновь воспользовавшись принципом симметрии, окружим наш шар с радиусом r и зарядом концентрической сферой радиуса , проходящую через точку А, в которой мы хотим определить напряженность . В силу симметрии заключаем, что эта напряженность направлена вдоль луча, исходящего из центра заряженного шара. Величина этой напряженности E постоянна для всех точек сферы. Применяя теорему Гаусса-Остроградского, получаем

(5.15, а)

(«сф_А» - означает, что интегрирование ведется по всей сфере радиуса ). Из (5.15, а) получаем

и (5.15,б)

Как видим, напряженность электростатического поля заряженного шара при определяется по той же формуле Кулона, что и у поля точечного заряда. Разность потенциалов между точками А и В определяем тем же способом, что и для поля однопроводной линии: сначала перемещаем пробный заряд из точки В в точку по сфере радиуса (см. рис. 5.5), а затем вдоль луча из точки B´ в точку А. Ясно, что работа на первом участке будет равна нулю, а на втором

(5.16)

Если точка В находится в бесконечности, то

(5.17)

Как видим, удобно выбирать потенциал поля шарового заряда, считая, что нулевая точка находится в бесконечности.

Рис. 5.5. К расчету электростатического поля шарового заряда

Пример 3⁰. Поле заряженной плоскости. На рис. 5.6 изображена плоскость, равномерно заряженная с плотностью заряда (заряд площадки равен ).В силу симметрии напряженность поля направлена перпендикулярно плоскости , причем справа и слева от нее в противоположные стороны (если , то от плоскости, т.е. так, как показано на рис. 5.6). Кроме того, величина E одинакова для точек, находящихся на одинаковом расстоянии от плоскости и справа и слева.

Применим для поверхности параллелепипеда теорему Гаусса

(5.18)

Как видим, напряженность поля заряженной плоскости не зависит от расстояния от этой плоскости.

Пример 4⁰. Поле плоского конденсатора. Как известно [1], конденсатором именуется прибор, состоящий из двух проводящих электродов, разделенных изоляционной средой. В пределе в качестве такой среды принимается вакуум. Дополнительной особенностью конденсатора является тот факт, что оба электрода заряжены одинаковыми зарядами с противоположными знаками.

Рис. 5.6. К расчету электростатического поля заряженной плоскости

Если электроды конденсатора представляют собой параллельные друг другу плоскости, находящиеся на расстоянии , то он именуется плоским (рис. 5.7).

Рис. 5.7. К расчету поля плоского конденсатора

Поле внутри и вне конденсатора Ē_in и Ē_on равно

(5.19)

Разность потенциалов между обоими электродами конденсатора равна работе по перемещению единичного положительного заряда из т. а в т. в (см. рис. 5.7):

(5.20)