5.3. Теорема Гаусса–Остроградского

Основным соотношением, позволяющим рассчитать напряженности самых разнообразных электростатических полей, обладающим симметрией, является формула, получаемая в результате доказательства теоремы Гаусса-Остроградского:

, (5.10, а)

где S – произвольная замкнутая поверхность в любом электростатическом поле (см. рис. 5.3, а), – поток силовых линий через инфинитезимальную площадку этой поверхности, – алгебраическая сумма всех зарядов, находящихся внутри объема, охваченного поверхностью S.

Доказательство теоремы Гаусса–Остроградского. Сначала рассчитаем поток силовых линий через замкнутую поверхность S, если в ней только один заряд q_k (рис.5.3,б). Для этого выберем произвольную бесконечно-малую (инфинитезимальную) площадку dS на поверхности S и сосчитаем поток через эту площадку. Для этого соединим каждую точку замкнутой кривой, ограничивающей площадку dS от остальной поверхности S, прямыми линиями с точкой q_k.

Образовался конус, который в дифференциальной стереометрии именуется телесным углом [5]. Поскольку все силовые линии точечного заряда q_k направлены по радиусу от него, ни одна из них не выходит за пределы выбранного телесного угла, если она вышла из заряда внутри этого угла. Точно так же ни одна посторонняя силовая линия не входит в данный телесный угол через его боковую поверхность. Поэтому можно ожидать, что поток силовых линий внутри этого угла не меняется на любом удалении от заряда.

Впрочем, докажем это. На рисунке 5.3, в показана эта площадка в увеличенном виде. Поток вектора напряженности через эту площадку равен

, (5.10,б)

где α – угол между напряженностью и вектором (напомню, перпендикулярным к площадке dS), - площадь вспомогательной площадки, расположенной внутри телесного угла в том же месте, что и dS, но перпендикулярная напряженности Ē, - площадь еще одной вспомогательной площадки, расположенной внутри нашего телесного угла перпендикулярно напряженности на расстоянии R₀=1 от заряда q_k. В соотношениях учитывалось, что из соображений подобия отношения и, следовательно,

Рис. 5.3. К расчету потока вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность: а – общий вид; б – поток внутри телесного угла; в – к расчету потока внутри телесного угла

Итак, мы получили, что поток dФ через любую площадку, расположенную внутри телесного угла, равен потоку через площадку dφ.

В свою очередь ясно, что площадка dφ является участком поверхности сферы, обведенной вокруг заряда q_k на расстоянии R₀=1.

Теперь подсчитаем поток через всю замкнутую поверхность S:

(5.11, а)

где - сфера радиуса R₀=1 (см. рисунок 5.3, б).

Если внутри сферы S не один заряд, а N зарядов, то имеем

(5.11, б)

В выкладках (5.11, б) правая часть ничем не отличается от (5.9,а), следовательно, теорема доказана.

5.4. Примеры применения теоремы Гаусса–Остроградского

Пример 1⁰. Поле однопроводной линии. На рис. 5.4 показан участок бесконечно длинного провода, вдоль которого равномерно распределен заряд с линейной плотностью (на участке провода длиной заряд ).

Рис. 5.4. К расчету электростатического поля прямолинейного провода