3.8. Распределение молекул газа по скоростям

В стационарном состоянии газа молекулы могут в силу стохастичности происходящих в нем процессов обладать различными скоростями. Однако, поскольку общее число этих молекул очень велико, имеется вполне закономерное распределение частиц по скоростям. Покажем это.

Согласно (3.45) плотность молекул газа, находящегося в гравитационном поле земли, уменьшается в зависимости от высоты по экспоненциальному закону. Возникает вопрос: а почему вообще эти молекулы находятся на какой-либо высоте, а не оседают на дне сосуда (в частности, на поверхности земли)? Ответ в рамках классической механики прост – частицы представляют собой упругие корпускулы, которые, ударяясь о горизонтальную поверхность дна сосуда, как мячи, вновь подскакивают на ту же высоту, что и предыдущий подскок. Разумеется, в процессе таких прыжков корпускула сталкивается с другими такими же частицами. Однако в соответствие с законом сохранения импульса вертикальная составляющая скорости исходной корпускулы, передаваясь другим молекулам, не меняется. Поэтому среднее число корпускул, достигающих высоту h, будет при наличии соударений такое же, как в идеальном случае, при котором они подскакивают и падают, не соприкасаясь друг с другом. Согласно закону сохранение энергии высоту h достигнут только такие молекулы кинетическая энергия которых в вертикальном направлении равна потенциальной энергии mgh. С учетом сказанного из (3.45) получаем

(3.58,а)

(Принимаем, что в соответствии с рис. 1.1и др.вертикальная ось обозначается буквой «Y»).

Формула 3.58,а определяет зависимость плотности молекул от проекции их скорости на одну из осей координат. Можно основываясь на симметрии всех трех осей координат, распространить ее и на оси X и Z:

; (3.58,б)

Следует отметить, что величина n₀ в формулах (3.58,а и б) играет роль константы.

Чтобы определить n₀, надо проинтегрировать одно из выражений (3.58) в пределах от -∞ до +∞:

(3.59,а)

где n – общее число молекул в единице объема газа.

Подставим в (3.59,а) значение n(v_x) из (3.58,б) и используем табличный интеграл [5]:

Получаем

(3.59,б)

где v_х.ср. – средняя по модулю скорость молекул вдоль оси х , которая равна согласно (3.5,б) и (3.11).

.

Таким образом

(3.59,в)

Отношение n(v_x)/n; n(v_y)/n; n(v_z)/n – представляет собой вероятность существования в единице объема газа молекул со скоростью v_х, v_y и v_z:

р_x =р_y=р_z. Из формул (3.58,а и б) и (3.59,в) получаем

(3.60)

Определим теперь зависимость вероятности молекул с модулем скорости v от величины этой скорости, используя формулы (3.60). Учтем при этом, что

(3.61)

Выражение (3.61) представляет собой уравнение сферы в системе координат v_x,v,_yv_z.

Число молекул в единице объема газа, скорость которых лежит в пределах от v до (v+dv) равна

(3.62,а)

где n_xyz число частиц в единице объёма, скорость которых равна v_x,v,_yv_z, удовлетворяющих соотношению (3.61):

(3.62,б)

Из (3.62, а и б) получаем

(3.62,в)

И с учетом (3.60) и (3.61)

(3.63)

Соотношение (3.63) именуется распределение Максвелла молекул идеального газа по скоростям и кинетическим энергиям [1, 14].

На рис. 3.10 дана обобщенная зависимость от , полученная из (3.63). Относительные значения вероятности и кинетической энергии молекул определяется по формулам:

(3.64)

(3.65)

Максимум соответствует значению, при котором равна . Величина т.е. больше половины частиц имеют кинетическую энергию, соответствующую температуре газа

Рис. 3.10. Распределение Максвелла