Риc. 3.7. К раcчёту процесса преобразования теплового движения в упорядоченное в простейшей неравновесной системе

Между скоростью и и угловой скоростью вращения турбины ω прямо пропорциональная зависимость, определяемая наклоном лопастей к плоскостям, проходящим через ось турбины:

и = K_ωω. (3.48)

Учитывая, что

A = Mω,

где М – тормозящий момент, с которым нагрузка, подсоединенная к валу турбинки, оказывает на нее, находим из (3.47) и (3.48).

(3.49)

Нетрудно заключить, что при постоянных значениях Т₁ и Т₂ вращающий момент турбинки М – постоянный, и изменение нагрузки влияет лишь на скорость ее вращения ω и скорость газа и. За время одного оборота инфинитезимального объема газа вдоль по трубке, равное

ее температура, меняясь, возвращается к исходному значению. Например, если в момент t_o = 0 этот объем находится в т. В, его температура равна Т₁. После оборота по трубке и возвращения вновь в эту точку, температура вернется к значению Т₁. Величина ΔS складывается из двух составляющих:

(3.50)

где - изменение энтропии при нагревании рассматриваемого объема у левой стенки, - то же при его охлаждении у правой стенки. Изменение энтропии этого объема равно

(3.51)

где - теплоемкость данного объема (N – число молекул в нем). Разумеется, если пренебречь трением газа о стенки трубки и лопасти турбины, разность

(3.52)

- работе по вращению турбины. Из (3.51) и (3.52) имеем

(3.53)

Величина η является коэффициентом полезного действия (к.п.д.) установки. Как видим, она тем больше, чем меньше отношение .

3.7. Цикл Карно

Карно впервые показал, что можно преобразовать тепловое движение в механическое («теплоту» в «работу»), не нарушая второе начало термодинамики. На рис. 3.8.а,б,в,г показаны 4 фазы работы двигателя Карно.

Как видим, он состоит из трубки с теплопроводной боковой стенкой, один торец которой закрыт наглухо, а второй поршнем – подвижной крышкой с тягой (стержнем), верхняя ось которой подсоединена к точке круглого вращающегося колеса, расположенной эксцентрично по отношении к его оси – рис. 3.9,а,в. Конструкция рисунка 3.9 – не единственно возможный способ преобразования возвратно – поступательного движения поршня двигателя Карно во вращательное. К моменту изобретения С. Карно его «двигателя» такой механизм уже был применен Уаттом [1] в первой паровой машине. Вращающееся колесо с помощью еще одной передачи совмещает боковую стенку механизма Карно то с нагревателем, то с холодильником.

На рис. 3.9, б показано, как это можно реализовать технически. В колесе проделано отверстие, которое дважды за оборот открывает поочередно каналы подачи горячего (Т₁) и холодного газа (Т₂) к механизму. Цикл Карно состоит из следующих стадий. Первая стадия – рис. 3.9, а – изотермический процесс расширения газа внутри полости трубки при температуре Т₁, обеспечиваемой поступлением тепловой энергии от нагревателя 1. Вся эта энергия превращается в работу:

(3.54, а)

где V₀ и V₁ – объем газа в начале и конце стадии 1, N – число частиц газа. Вторая стадия – стадия адиабатического расширения (рис. 3.8,б). Во время этой стадии газ в трубке не обменивается тепловой энергией с окружающей средой. Работа достигается за счет снижения внутренней энергии газа, т.е. его температуры:

(3.54,б)

где V₁ и V₂ – объем газа в начале и конце второй стадии – начале третьей фазы. Величина const определяется из соотношения (см. (3.36, д)).

Рис. 3.8. Схематическое изображение двигателя Карно:

а – изотермическое нагревание; б – адиабатическое расширение;

в – изотермическое охлаждение; г – адиабатическое сжатие

(3.54,в)

В свою очередь, из уравнения состояния газа в конце первой стадии находим

Подставляя это значение в (3.54, в), а затем в (3.54, б) получаем:

(3.54, г)

Учтем также, что во время стадии 2 газ расширяется до тех пор, пока его температура не снизится до температуры Т₂. Согласно (3.36,б)

.

Рис. 3.9. Вариант конструктивной реализации двигателя Карно:

а – вид спереди; б – вид справа

Подставляя в (3.54, г), имеем

(3.54, д)

В течение третьей стадии протекает вновь изотермический процесс, но уже при температуре Т₂ и вследствие сжатия газа внешней силой, действующей на поршень (см. рис. 3.8, в). Вся работа этой силы А₃ превращается в тепловую энергию , передаваемую холодильнику 2:

(3.54,е)

И, наконец, для четвертой, адиабатической стадии имеем:

, (3.54,ж)

Учитывая, что

имеем

(3.54,з)

и из (3.54, а) и (3.54, г) получаем

(3.55)

С другой стороны, складывая , получаем

. (3.56)

И вновь получаем

(3.57)

Как видим, цикл Карно обеспечивает неизменность энтропии , и к.п.д., пропорциональный отношению разности температур к температуре источника энергии.