Аналогично для второго газа записываем
(3.29,б)
Для
того чтобы найти суммарное изменение
энтропии
,
интегрируем (3.29, а) и (3.29,а):
С учётом (3.29, а) получаем:
(3.30)
Как видим, в результате диффузии газов суммарная энтропия возросла, так как согласно (3.30) S >0.
Если принять отношения
;
,
(3.31)
как вероятности обнаружения частиц m1 и m2 в полученном газе, то (3.30) можно записать в виде
(3.32)
где N=N1+N2.
Если бы в проведённом эксперименте перемешать не два, а несколько газов, то получим
(3.33)
где М - число перемешанных газов. Формула (3.33) соответствует информационному определению энтропии.
Если применить к выражению (3.30) формулу Стирлинга, то можно получить ещё одну - третью по счёту - формулу расчёта энтропии, применяемую в литературе:
(3.33,а)
В выкладках соотношения (3.33, а) мы пользовались формулой Стирлинга [5]
.
(3.33,б)
С ростом величины N равенство (3.33, б) становится все более точным, а в нашем случае, когда N определяется числами > 1010, оно превращается в тождество.
Из (3.30) и (3.33,а) имеем:
.
(3.33,в)
Величина, стоящая в скобке, именуется в теории вероятности статистическим весом состояния системы. Она характеризует собой число возможных распределений молекул первого и второго газа по объемам V1 и V2.
Если бы число газов было бы не 2, а несколько - М, то
.
(3.33,г)
Анализ всех процессов, происходящих в природе, убеждает в том, что они сопровождаются увеличением энтропии, т.е. хаоса. Объясняется это тем, что любое движение частиц, лишенных иной формы взаимодействия, кроме столкновений, обязательно приводит к накоплению хаотического движения, как более вероятного. Наличие между ними взаимодействия – ядерного, электромагнитного и гравитационного - причудливо видоизменяет эту постоянную тенденцию к хаосу, делая ее движущей силой местного накопления гармонии.
Это необратимое увеличение энтропии именуется вторым принципом термодинамики [1-3]. Следует, однако, подчеркнуть, что степень увеличения этот принцип не оговаривает. Если оно невелико по сравнению с энтропией исходного состояния:
,
то тогда теоретически можно принять, что
S = const.
Идеальные термодинамические процессы, в которых энтропия принимается неизменной, будут рассмотрены ниже, в § 3.7.
3.5. Адиабатические, изотермические, изохорические, изобарические процессы
Уравнения (3.18, б и 3.22, а) дают аналитическое описание всех возможных процессов в идеальном газе. Рассмотрим несколько наиболее важных с точки зрения технического использования термодинамики частных случаев.
10. Адиабатический процесс – процесс, при котором не происходит теплообмена с окружающей средой. Иными словами, может меняться объем V (рисунок 3.2,а), давление в нем – p - , температура Т, но при этом сохраняется число частиц в нем N и тепловая энергия Q ни передается в окружающую среду, ни потребляется из нее:
dQ=0. (3.34)
В общем случае величина
dQ=dU+dA, (3.34,а)
где
dA=pdV (3.34,б)
- работа данной массы газа (превращение тепловой энергии в механическую);
dU = KБNdT (3.34,в)
- изменение внутренней (тепловой) энергии этой массы (см. (3.17, б)).
Подставляя (3.34, а; б; в) в (3.34), имеем
- p dV = KБNdT (3.35,а)
Из (3.22, а) имеем
p
=
.
(3.35,б)
Подставляя (3.35, б) в (3.35, а), получаем
(3.35,в)
Интегрируя правую и левую часть, получаем
lnV
= ln
(3.35,г)
где с – постоянная интегрирования. Окончательно из (3.35,г) получаем:
VT 0,5 i = const (3.35,д)
Из (3.35,г и д) получаем
T
= const · V-2/
i=
const ·
;
(3.36,
а)
p
= const
· T
1-0,5
i
.
(3.36, б)
На рис. 3.5,а,б даны зависимости p(V) и T(V) для адиабатического процесса. В частности, из (3.36,а) следует, что при адиабатическом расширении температура газа уменьшается, а при сжатии – возрастает.
20. Изотермический процесс – процесс, при котором изменяется объем газа рис. 3.2, а, давление в нем, но при этом сохраняется неизменной температура Т и, следовательно (см.(3.18, б)), внутренняя энергия U. Обмен тепловой энергией данной массы газа с окружающей средой происходит, но она вся превращается в работу:
dQ = dA = pdV. (3.37)
Из (3.22, а) получаем
pV = const. (3.38)
На рис. 3.5,в,г даны графики зависимости p(V) и T(V) для изотермического процесса.
30. Изобарический процесс – процесс, при котором остается постоянным давление, а все остальное – температура, тепловая энергия и объем массы газа (рисунок 3.2, а) меняются.
Из (3.22,а) получаем:
(3.39)
На рис. 3.5,д,е даны графики зависимости p(V) и T(V) для изобарического процесса.
Работа, совершаемая газом при изобарическом процессе, равна
dA=pdV=KБNdT. (3.40, а)
Внутренняя энергия изменяется на величину:
(3.40,
б)
Тепловая энергия, поступающая в объем рисунок 3.2, а, равна:
dQ
= dA + dU =
KБNdT
= CpdT.
(3.40, в)
где Cp – теплоемкость при изобарическом процессе (p=const), равная
(3.40,
г)
40. Изохорический процесс – процесс, при котором остается постоянным объем газа, а все остальное – температура, тепловая энергия и давление газа при 3.2,а меняются. Из (3.22, а) получаем
(3.41,а)
На рисунке 3.5,ж,з даны графики зависимости p(V) и T(V) для изохорического процесса. Работа при изохорическом процессе равна нулю:
А = 0, (3.41,б)
Рис. 3.5. Зависимости p(V), T(V), T(p) для различных политропных процессов:
а, б – адиабатического; в, г – изотермического; д, е – изобарического;
ж, з – изохорического
а тепловая энергия Q состоит только из внутренней энергии U:
Q = U = KБNT. (3.41,в)
Теплоемкость при изохорическом процессе CV равна
(3.41,г)
Сравнивая (3.41, г) с (3.40, г), имеем
(3.42)
Величина адиабатой ν = Ср/сν = (i + 2) / i называется.