3.3. Работа идеального газа. Теплота и внутренняя тепловая энергия. Первый закон термодинамики

На рис. 3.4,б изображен все тот же объем V газа, что и на рис. 3.4,а, только предполагается, что стенка подвижна. При этом с противоположной объему V стороны этой стенки на нее ничего не воздействует. Следовательно, стенка находится под воздействием только силы , определенной в предыдущем параграфе:

(3.23,а)

При перемещении стенки S_XOZ на расстояние под действием этой силы осуществляется работа

(3.23,б)

Ясно, что заключительное выражение формулы (3.23,б) справедливо и в тех случаях, когда подвижными будут другие стенки объема V идеального газа. Более того, эта формула может быть отнесена и для деформации любого произвольного объема идеального газа. Поскольку эта работа производится за счет хаотического движения молекул идеального газа, она обусловлена уменьшением внутренней энергии газа V

(3.23,в)

Как правило, любой замкнутый объем газа находится в тепловом взаимодействии с окружающей средой. Например, воздух, находящийся в аудитории, нагревается находящимися в ней студентами, а охлаждается через стекла и стены. Поэтому баланс тепловой энергии любого объема равен

(3.23,г)

В этой формуле - тепловая энергия (или просто теплота), поступающая в данной объем газа из вне. (Ясно, что если , то речь идет о передаче теплоты из данного объема в окружающую среду).

Формула (3.23,г) именуется первым началом термодинамики. Фактически она определяет более общий закон сохранения энергии применительно к тепловым процессам.

3.4. Энтропия. Второй принцип термодинамики

Тепловое (хаотическое) движение частиц обладает особым свойством – оно не может превратиться в другие (упорядоченные) формы движения, не увеличив в еще большей степени хаос в природе.

Имеется особая физическая величина – энтропия, которая характеризует возможность того или иного процесса с точки зрения возрастания хаоса в природе.

Для определения этой величины рассмотрим, какие энергетические соотношения связывают постепенный переход от хаотического состояния (рис. 3.2, а) к упорядоченному (рис.3.2, б).

На рис. 3.2, в изображено промежуточное состояние в момент времени t– в объеме V₁ частицы по-прежнему двигаются хаотически, а в объеме V₂ – упорядоченно.

(V₁+V₂= V).

Через интервал времени ∆t еще в одном участке объема V₁ – ΔV с числом частиц ΔN₁=nΔV все молекулы из хаотического состояния переходят в упорядоченное. Следовательно, энергия хаотического движения частиц уменьшилась на ΔN₁w_xаос. Эта энергия передалась в объем (V₁-ΔV) и частично в окружающее пространство

Δ N₁ w_xаос = (N₁ -Δ N₁) Δ w_1.cр – Δ Q₁, (3.24,а)

где Δ w_1.cр – величина, на которую увеличилась средняя энергия молекул объема V₁ за счет передачи ему части энергии из объема ΔV, (-ΔQ₁) – часть энергии, высвободившейся в объеме ΔV и переданной в окружающее пространство.

Из (3.23, а) получаем:

+ Δ Q₁ = N₁ Δ w_1.cр – Δ N₁ w_xаос. (3.24,б)

(слагаемое ΔN₁Δw_1.cр отбрасываем, как величину второго порядка малости).

Как видим, увеличение порядка в объеме V сопровождается уменьшением тепловой энергии в этом объеме на величину (-ΔQ₁). Однако изменение энергии не в полной мере характеризует степень упорядоченности. Поясним это на таком примере. Предположим, что студент, вернувшись с занятий к себе домой, обнаружил, что он забыл убрать постель. После того, как он постелил ее, ему удалось восстановить дома порядок. На следующий день, кроме неубранной кровати, в раковине оказалась еще и невымытая посуда. Затратив ту же энергию, что и накануне, он убрал постель, однако порядок так и не был восстановлен. Следовательно, порядок должен оцениваться не только затраченной на его приведение энергией, но и ее отношением к средней энергии хаоса в этом объёме:

(3.24,в)

Умножая правую и левую часть на коэффициент пересчета а, получим физическую величину, характеризующую количественно меру хаоса или порядка – ΔS₁:

(3.23, г)

где а – пересчетный коэффициент, принимаемый для удобства технических расчетов. Отношение заменено на , так как при этом формула приобрела более универсальный характер. Коэффициент пропорциональности а принимается равным:

- в термодинамике:

а = K_Б = 1,38 × 10 ^–23 [ ]; (3.25,а)

- в информатике и кибернетике [10]:

а = 1 [нат]; (3.25,б) а = 1 / ln2 [бит]; (3.25,в)

а = 1 /ln8 [байт]; (3.25,г)

а = 1/2¹⁰ln8 [килобайт]; (3.25,д) а = 1/2²⁰ln8 [мегабайт]. (3.25,е)

Если величина ∆S увеличивается, то возрастает степень хаоса газа, т.е. либо увеличивается энергия хаотического движения, либо уменьшается количество молекул в единице объема газа.

Параметр S именуется энтропией. С учетом сказанного, его можно определить, как величину, изменение которой пропорционально алгебраической сумме изменений относительной величины кинетической энергии частиц газа и относительной величины плотности частиц газа в единице объема.

Величина, противоположная по знаку энтропии, называется информацией I [10]:

I =-S. (3.26,а)

Покажем, как связаны между собой термодинамическое определение энтропии (информации), данное формулой (3.25), и вероятностное, применяемое в кибернетике и теории информации.

Сначала представим себе, что плотность частиц в объеме V не меняется (n=const), зато туда из окружающего пространства поступает (или в окружающее пространство убывает) тепловая энергия dQ. Согласно (3.24), (3.25) и (3.11) имеем:

(3.26,б)

т.е. обычную термодинамическую формулу энтропии [1, 3, 4, 14, 15, 17-20].

Затем представим себе, что объем V увеличивается на инфинитезимальную (бесконечно – малую) величину dV. Согласно (3.24,г) энтропия изменится на величину

(3.26,в)

Произведение

(3.27,а)

где dU = Ndw_К.ср; а Т = w_хаос/K_Б согласно (3.11). Величина U, напомним, именуется внутренней тепловой энергией системы (см. § 3.1).

Второе слагаемое правой части равенства (3.26) можно преобразовать следующим образом:

(3.27,б)

где dA =pdV – работа по увеличению объема V на величину dV, а Т=pV/K_БN согласно (3.22, а).Подставляя (3.27, а) и (3.27, б) в (3.26), получаем

TdS = dU + dA. (3.28)

Произведение TS именуется термодинамическим потенциалом.

Теперь представим себе, что рядом расположены два объёма V₁ и V₂, в каждом из которых располагаются комплекты отличающихся друг от друга частиц m₁ и m₂ . Эти частицы могут различаться массой или радиусом сферы. Для простоты и прозрачности расчёта примем, что средняя кинетическая энергия и плотность частиц в объёмах V₁ и V₂ одинаковы:

w_1ср. = w_2ср.= w_ср; n₁ = n₂ = n.

Следовательно, - см. (3.9) и (3.11) - равны температуры:

Т₁ = Т₂ = Т

Уберём перегородку П, разделяющую оба объёма. Вследствие хаотического движения частицы m₁ и m₂ через некоторое время равномерно распределятся по объёму

V = V₁ + V₂.

При этом, естественно, ни температура, ни плотность частиц не изменятся.

Согласно (3.26) и (3.27, б) имеем:

(3.29,а)

где - объём, занимаемый частицами m₁ в промежуточный момент t процесса диффузии газов внутри объёмов V₁ + V₂.