3.2. Уравнение состояния Менделеева–Клапейрона

Выясним, какое силовое воздействие оказывает газ, находящийся внутри объема V (рис. 3.2, а) на его стенки. Выберем стенку YOZ. Часть молекул, расположенных внутри объема, ударяясь об эту стенку, отскакивают. При этом их импульс меняется. Разность начального и конечного импульса передается стенке. На рисунке 3.4,а показана одна частица m_k, которая отскакивает, воздействует на стенку импульсом j_k, перпендикулярным стенке. Величина j_k равна

j_k = 2m v_{x (-)}, (3.19)

где m, v_x(-) – см. формулы (3.4).

Формула (3.19) выведена, исходя из того, что импульс j_k перпендикулярен плоскости YOZ и, следовательно, возник в результате изменения импульса частицы m_k в направлении оси x, т.е. от значения mv_x(-) до mv_x(+). Переходя к усредненным значениям формул (3.4, в) с учетом (3.4, б) мы получили (3.19).

а) б)

Рис. 3.4. К расчету давления идеального газа

Количество молекул, ударяющихся о стенку YOZ за интервал времени ∆t, равно (см. рис. 3.4).

(3.20, а)

Действительно, стенку YOZ за ∆t достигнут только те частицы, которые находятся в объеме S_yoz v_x(-)∆t и имеют скорость v_x(-). Поскольку в силу равной вероятности движения молекул по всем координатным направлениям (см. (3.4, б)), ясно, что их число равно объёму S_yozv_x(-), умноженному на плотность частиц во всём объеме. Умножая j_k на N_x∆t, получим суммарный импульс, получаемый стенкой yoz за интервал ∆t

(3.20,б)

Деля левую часть (3.20, б) на ∆t, получаем значение силы F_x, действующей на стенку S_yoz.

Отношение

(3.20, в)

является давлением на эту стенку объема. Из (3.20, б) с учетом (3.5, б) и (3.4, ж) имеем

p_x = n w_k.ср, (3.20, г)

а с учетом (3.3) и (3.14)

p_x = K_Б nТ ⁰ (3.20, д)

Аналогичное значение давления получается для всех стенок параллепипеда (рисунок 3.4,а). Следовательно,

p = K_Б nТ, (3.21)

где

p = p_x = p_y = p_z.

Формула (3.21) называется уравнением состояния идеального газа. Имеется несколько видов записи этого уравнения:

pV = K_БNТ (3.22,а)

(3.22,б)

где М – масса газа в объеме, μ – масса молекулы в кг. Часто массу молекулы в кг вычисляют по формуле

μ = А _μ·1,66 · 10 ^–27 [кг], (3.22,в)

где А_μ – атомный вес молекулы, 1,66·10^–27[кг] - масса атома водорода.

Например, масса молекулы кислорода равна

(3.22, г)

Если в качестве объема газа в формулу (3.22, а) подставить объем одной килограмм-молекулы V_μ, а вместо N – число молекул в одном кг газа (число Авогадро: N_A=6,023·10²⁶[к моль] ^–1), то уравнение состояния получает вид:

pV_μ = K_Б N_АТ=R·T, (3.22, д)

где

R = 8,31 · 10 ³ [ ] (3.22, е)

Объем V_μ=22,4дм³ при атмосферном давлении p=1,013ГПа (760 мм рт.ст.) и температуре t=0⁰С.