Движением всех корпускул, входящих в газ (а), их упорядоченным движением (б) и в промежуточной ситуации (в)

N = nV. (3.1)

Состояние хаоса порождает еще несколько соотношений. Первое из них – средняя кинетическая энергия поступательного движения этих частиц w_к.ср одинакова в любом участке объёма v и в любой момент времени:

(3.2)

где m_q и v_q – масса и скорость корпускулы с номером q. Сумма

(3.3)

именуется внутренней тепловой энергией идеального одноатомного газа.

Во-вторых, среднее значение импульса всех частиц вдоль каждой оси одно и то же. Действительно, согласно закону сохранения импульса (см. § 2.5).

(3.4, а)

Поэтому центр масс газа неподвижный.

Из (3.4, а) следует, что

v_{x (+)} =v_{x (-)}=v_{y (+)}=v_{y (-)}= v_{z (+)}= v_{z (-)} (3.4, б)

где

(3.4, в)

где - проекция импульса частицы на положительное направление оси (см. рис. 3.3), - проекция на отрицательное направление оси , _- - среднее значение скорости корпускул в положительном и отрицательном направлениях осей x(y, z), m – средняя масса частиц:

. (3.4, г)

Рис. 3.3. Разложение импульса q – той частицы на координатные проекции

Соотношения (3.4,б) вытекают из тех соображений, что сумма импульсов вдоль любой оси равна нулю (см. (3.4,а)), при этом вероятность их направления вдоль положительной полуоси равна вероятности вдоль отрицательной. Более того, вероятность их движения вдоль любой из полуосей x, y, z одинакова: при хаотическом движении частиц мы не можем отдать предпочтение ни одному из этих направлений. В-третьих, масса частиц, движущихся в положительном направлении любой из осей, равна массе частиц, движущихся в отрицательном направлении

(3.4, ж)

В-четвертых, из равной вероятности движения корпускул газа по всем трем координатным направлениям следует, что

, (3.5, а)

где

(3.5, б)

т.е. средняя кинетическая энергия движения частиц равномерно распределяется по этим осям.

Соотношения (3.4, б) и (3.5, а) показывают, что в любом хаосе можно обнаружить определенный порядок, если изучать его во множестве большого числа элементов. Ниже в § 3.4 будет выведено соотношение, обнаруживающее еще более строгий порядок в идеальном газе.

Еще одна величина, характеризующая хаотическое движение в идеальном газе, обнаруживается путем сопоставления его с упорядоченным движением. На рисунке 3.2, б показано упорядоченное движение тех же частиц, что и на рисунке 3.5, а это значит, что у них

; (3.6,а)

; (3.6,б)

, (3.6,в)

где

(3.6,г)

- все величины с верхним индексом «штрих» относятся к рисунку 3.2, б. Если принять, что

, (3.7)

т.е. средняя кинетическая энергия частиц одинакова для рисунков 3.2, а и б, то получим

(3.8, а)

(3.8, б)

(средняя кинетическая энергия движения корпускул вдоль оси x при упорядоченном движении, на больше, чем при хаотическом, а вдоль осей y и z на меньше). Можно сказать, что энергетически за хаотическое движение частиц отвечает лишь их средней кинетической энергии. Эту величину назовем энергией хаотического движения

(3.9)

В макромире (т.е. в мире большого скопления частиц) именуют «температурой». Правда, в качестве единицы температуры принимают величину в 0,7243·10 ²³ раз большую, где

0,7243·10 ²³=1/1,38·10 ^-23=1/К_Б (3.10)

- число, обратное постоянной Больцмана К_Б:

= К_Б Т [K]. (3.11)

В международной системе единиц CИ [1,14] Т именуется абсолютной температурой, [K] – ее единица – один Кельвин.

В быту используется шкала Цельсия Т[^OC], связанная с абсолютной шкалой температур соотношением

Т [⁰C] = Т [K] – 273,16 [K]. (3.12)

Т₀[⁰C]=-273,16⁰ называется абсолютным нулем температур. Согласно (3.11) он соответствует такому состоянию идеального газа (рисунок 3.2, а), когда все корпускулы неподвижны. На самом деле, как свидетельствует квантовая теория (см. раздел 5), таких состояний, когда микрочастицы неподвижны, не бывает. Поэтому под абсолютным нулем подразумевается такое состояние газа, при котором отклонение средней кинетической энергии частиц от нуля за малый интервал времени ∆t не превышает постоянную Планка:

∆ ∆t ≤ h, (3.13)

где h = 6,626 · 10 ^–34 Дж.с.

Сопоставляя (3.3), (3.9) и (3.11) друг с другом, получаем

U= K_Б NТ. (3.14)

Величина С_N = K_Б N. (3.15)

называется теплоемкостью идеального газа с одноатомными (т.е. сферически симметричными) молекулами.

Если бы идеальный газ состоял из двухатомных молекул, то средняя энергия каждой молекулы включала бы в себя не три, а пять составляющих:

w_ср = w_x + w_y + w_z + w_вр. (3.16,а)

где w_вр – энергия вращения атомов молекулы вокруг оси, которая перпендикулярна прямой, соединяющей их центры. Если расположить координаты так, чтобы ось вращения атомов была расположена в плоскости XOY, то w_вр разделяется на две составляющие.

w_вр = w_вр.x + w_вр.у., (3.16, б)

Поступательные движения молекулы вдоль осей X, Y и Z и вращательные движения относительно осей X и Y не зависят друг от друга. Поэтому эти составляющие совокупного движения молекулы именуются степенями свободы. Как видим, у одноатомного газа всего три степени свободы, а у двухатомного – пять. В силу равной вероятности движения молекул газа вдоль всех степеней свободы

w_x = w_y = w_z = w_вр.x = w_вр.y. (3.16, в)

При этом w_xаос по-прежнему равно сумме w_y + w_z, т.е.

w_xаос = (w_x + w_y + w_z + w_вр.x + w_вр.y) = w_ср. (3.17,а)

С учетом (3.3), (3.9) и (3.11) получаем

U = K_Б NT,С_N = K_Б N

Если газ состоит из трех- и более атомных молекул, то

w_ср = w_x + w_y + w_z + w_вр.x + w_вр.y + w_вр.z = w_xаос (3.17,б)

и

U= K_Б NT, С_N = K_Б N (3.18, а)

Обобщенно (3.14), (3.15), (3.17) и (3.18,а) можно записать в виде

U = K_Б NT, С_N = K_Б N, (3.18, б)

где i – число степеней свободы молекулы газа, U – внутренняя тепловая энергия. Следует подчеркнуть, что при высоких температурах в многоатомных молекулах газа помимо поступательного и вращательного движения возникает колебательное движение - атомы периодически удаляются и приближаются друг к другу. Поэтому появляется еще одна степень свободы для внутренней энергии теплового (хаотического) движения в идеальном газе. Этой степени соответствует двойная составляющая средней энергии

(3.18,в)

т. е. i=7 для двухатомных i=8 для многоатомных молекул.