2.10. Динамика упругого тела

На рисунке 2.10 изображено упругое тело в виде бруса с размерами x, y, z. Под действием сил { } брус растягивается в направлении оси x. Зависимость между силой F и деформацией ∆x именуется законом Гука:

(2.44)

где S=yz – площадь поперечного сечения бруса, p=F/S – напряжение [Н/м²]; E – модуль Юнга [Н/м²].

Рис. 2.10. Упругая деформация прямоугольного бруса

При растяжении бруса в направлении x происходит его сжатие в направлении y,z на величины ∆y и Δz . Все эти величины определяются по формуле

, (2.45)

где μ – коэффициент Пуассона. Для большинства упругих тел μ = 1/3.

Из формул (2.44) и (2.45) следует, что под действием сил { } происходит изменение объема бруса на величину

(2.46)

где - модуль объёмной упругости под воздействием сил в направлении оси x.

Если брус находится под воздействием растягивающих (сжимающих) сил в направлении всех трех осей, причем напряжение p_x=p_y=p_z, то относительная объемная деформация равна

, (2.47)

где k = E/3 (1-2μ) – модуль всесторонней объемной упругости.

При растяжении (сжатии) бруса совершается работа, равная

(2.48)

Эта работа равна потенциальной энергии упругости бруса:

(2.49)

Ещё одной разновидностью упругой деформации является сдвиг – рисунок 2.11. Сдвиг возникает в том случае,когда одна сторона бруса неподвижно закреплена, а на противоположную в направлении оси x действует сила . Характеризуется сдвиг отношением:

, (2.50)

где θ – угол, на который отклонилась под действием силы сторона ОА'.

По закону Гука между углом сдвига θ и силой F имеет место зависимость

, (2.51,а)

Рис. 2.11. Упругий сдвиг прямоугольного бруса

где

(2.51, б)

- модуль сдвига, p_τ – касательное (скалывающее) напряжение, S – площадь горизонтальной стороны бруса, изображенной на рис. 2.14 проекцией АВ или ОС.

На рисунке 2.12 изображен пружинный маятник, использующий упругие свойства твердого тела. При растяжении маятника на величину Δx (см. рисунок 2.12) появляется противодействующая сила F, равная

, (2.52, а)

где k – коэффициент упругости пружины, k_тр – коэффициент трения маятника о поверхность стола, на котором он расположен. Согласно 2-му закону Ньютона

(2.52, б)

Рис. 2.12. Модель пружинного маятника

Подставляя (2.52,б) в (2.52,а) получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

(2.52, в)

Разделив все слагаемые (2.52,в) на m, получаем

, (2.52, г)

где

(2.52, д)

Уравнение (2.52,г) аналогично (2.40,б). Поэтому для пружинного маятника (рис. 2.12) применимы все те выводы, что и для физического (рис. 2.9).