2.8. Релятивистская масса

В параграфе 2.1, вводя понятия силы и массы, мы исходили из того, что они не зависят от скорости материальной точки. Это верно в подавляющем большинстве случаев, которые связаны со скоростями точек, во много раз меньших скорости света. Однако, при скоростях, близких к с=3·10⁸ м/с, приходится учитывать релятивистские эффекты, которые приводят к зависимости массы материальной точки от скорости ее движения.

При скоростях, близких к скорости света c, масса материальной точки равна:

, (2.30)

где m_v – масса частицы при скорости v, m₀ – её масса в состоянии покоя.

Для доказательства этой формулы рассмотрим две одинаковые частицы m, одна из которых М₁ покоится на Земле, а вторая М₂ - на удаляющемся от Земли со скоростью v космическом корабле (рисунок 2.7). При этом воспользуемся универсальностью закона постоянства суммы импульсов, выте­кающею из однородности пространства, которое сохраняется и при больших скоростях.

Для определённости поставим в соответствие Земле и космическому кораблю системы координат X₁ Y₁ и X₂ Y₂ . В первом варианте X₁ Y₁ покоится, а X₂ Y₂ движется со скоростью v, во втором скорость X₁ Y₁ равна – v, а X₂ Y₂ - нулю.

Сопоставим скорости перемещения центра масс этих двух частиц с точки зрения Земли (X₁ Y₁) – v_c1 – и космического корабля (X₂ Y₂) – v_c2. В соответствии с законом схранения импульса (формулы (2.12,б) и (2.13,б) получаем:

для варианта рис.2.6,а

m_vv = (m_v+m₀)v_c1 , (2.31,а)

а для варианта рис.2.6,б

-m_vv = (m₀+m_v)v_c2. (2.31,б)

Из формул (2.31,а и б) получаем:

, (2/31,в)

и, соответственно:

m_v = m₀ /(v /v_c –1). (2.31,г)

Согласно (1.14)

(2.32,а)

Из (2.32,а) составляем следующее квадратное уравнение для расчёта ( v/v_c ):

(2.32,б)

Решение этого уравнения равно:

. (2.32, в)

(Второе решение – со знаком «минус» перед корнем отбрасываем, так как согласно (2.31,в) v/v_c больше единицы.

Подставляя в (2.31,г), получаем формулу (2.30).

Из формулы (2.30)вытекает, что, во-первых, кинетическую энергию частицы правильнее в релятивистском случае выражать через импульс:

(2.33)

Рис. 2.6. К определению зависимости релятивистской массы от скорости:

а – движение центра масс с точки зрения наблюдателя на Земле,

б – с точки зрения космонавта

Во-вторых, потенциальная энергия этой частицы заключена в её массе и равна

(2.34)

где - энергия покоящейся частицы.

На этой формуле основана вся современная ядерная энергетика. Действительно, при распаде изотопов урана масса образующихся элементов (см. главу 12) на сотые доли процента меньше массы исходного вещества. Будучи умноженной на с² 10¹⁷, этот дефект массы приводит к возникновению колоссальной кинетической энергии.