2.7. Связи абсолютно-твердых тел

Влияние одних тел на движение других именуется связями. В том случае, если система взаимодействующих тел не подвергается воздействию извне, т.е. других, не входящих в данную систему тел, она называется консервативной. Основной признак консервативной системы – постоянство кинетической энергии центра масс.

Если в системе материальных тел происходит изменение кинетической энергии центра масс, она именуется диссипативной. Эта энергия расходуется либо на увеличение кинетической энергии взаимного движения тел, входящих в систему, либо передается другим объектам окружающей ее среды.

Математически связи и консервативных, и диссипативных систем описываются следующей функцией

Ф(x₁,…x_N,y₁,…,y_N,z₁,…,z_N,x'₁,…x'_N,

y'₁,…,y'_N,z',…,z'_N,t)≥0, (2.27)

где x_k, y_k, z_k (k=1÷N) – координаты центра масс k-ого тела, входящего в систему, N - число тел системы, x'_k, y'_k, z'_k – скорость движения этих центров масс, t – время. При выполнении неравенства Ф>0 никаких ограничений движения тела нет, они появляются лишь при наступлении нижнего предела Ф=0. Поэтому связь, характеризуемая соотношением (2.27), именуется односторонней (неудерживающей или освобождаемой). Если Ф=0 при всех значениях координат и скоростей, в неё входящих, то связь именуется удерживающей (не освобождаемой или двухсторонней).

Если Ф=0 и в нее не входит в явной форме время t, то связь именуется стационарной (склерономной). Если же время входит, то именуется нестационарной (реономной, кинетической).

Если в функции Ф=0 отсутствуют в качестве аргументов координаты x_k, y_k, z_k, то связь именуется голономной (в противном случае неголономной).

Наоборот, если в Ф=0 отсутствуют производные x'_k, y'_k, z'_k, то связь именуется геометрической.

При расчетах часто возникает необходимость устранить связи, заменив их силами, действующими со стороны формирующих их, но не входящих в систему тел. На рисунке 2.5 показан наиболее типичный случай такой замены.

Рис. 2.5. Замена геометрической связи двух твердых тел на эквивалентные силы

На этом рисунке с – центр масс рассматриваемого тела Т, а ММ' – поверхность, ограничивающая его движение. (Для определенности рассматривается случай геометрической связи). В точке касания тела Т с ограничивающей поверхностью – т. А – на первое действуют сила, нормальная к касательной в т. А прямой КК', и параллельная этой касательной. Возникновение этой силы обусловлено трением между телом Т и поверхностью ММ'. Величина силы трения F_тр равна

F_тр = k_тр N_c, (2.28)

где k_тр – коэффициент трения. Коэффициент трения k_тр зависит от физических свойств материалов, из которых изготовлены трущиеся поверхности.

Направлена F_тр противоположно вектору скорости (см. рис. 2.5). Возможна ситуация,при которой сила F_с ,направленная вдоль касательной КК', меньше, чем F_тр. В этом случае тело Т вращается вокруг точки А. Для расчёта F_c используется следующая формула, именуемая формулой Кулона:

F_с ∙ r = k_тр.k N_c, (2.29)

где r – расстояние АС (см. рисунок 2.5), k_тр.k – коэффициент трения качения, который, как и k_тр, находится по таблицам. Если v_с=0, т.е. тело Т неподвижно, то действующие на него силы рассчитываются по (2.9) и (2.11).