Материальной точки Mq: а, б – под действием одной материальной точки Mp;

в – под действием двух материальных точек М_р1 и М_р2

при движении M_q от точки Q₁ к Q₂ (рис. 2.3, б) не зависит от того, по какому пути движется эта материальная точка. Эта разность зависит лишь от расстояния начальной и конечной точки пути Q₁ и Q₂ от точки M_p, т.е. от длин радиус-векторов и .

Нетрудно видеть, что если точка M_q находится под воздействием двух точек M_p1 и M_p2, то разность

по-прежнему не зависит от пути движения M_q, а лишь от расположения начала и конца этого пути.

Если точка M_q находится под воздействием N точек M_p1, M_p2,…, M_pN, то разность ∆A все также не зависит от маршрута движения:

(2.21,а)

Суммы

(2.21,б)

именуются потенциальными энергиями материальной точки M_q в точках Q₁ и Q₂. В свою очередь величины

(2.21,в)

именуются кинетическими энергиями материальной точки M_q в этих же точках.

С учётом формул (2.7,а и б) для вращательного движения любую из формул (2.21,в) можно записать в виде:

W_k=0,5m_qR²ω²=0,5J_q ω²,

где R – расстояние точки M_q от любого начала координат, J_q – момент инерции этой точки относительно этого начала координат, ω – угловая скорость вращения этой точки относительно этого начала.

Как видим, в какой бы точке пространства ни находилась бы материальная точка M_q, сумма

W= W_k + W_П = const, (2.22)

независимо от того, сколько материальных точек N воздействует на M_q - тысячи, миллионы, миллиарды,… и именуется энергией этой точки.

Равенство (2.22) именуется законом сохранения энергии классической физики. В релятивистской физике в левую часть этого равенства добавляют еще одно слагаемое W_m=mc², но об этом ниже (см.§ 2.8).

Следовательно, энергией именуется физическая величина, остающаяся неизменной при превращении взаимодействия материальных точек в движение и наоборот, движения во взаимодействие.

Следует подчеркнуть, что величина потенциальной энергии W_П определяется соотношением (2.21, б) не однозначно, а с точностью до аддитивного слагаемого (т.е. добавляемого произвольного постоянного слагаемого). Действительно, ни одно из соотношений (2.20) ÷ (2.22) не изменится, если заменить W_П на W'_П = =W_П + Ф, где Ф = const – произвольная постоянная.

Обычно потенциальную энергию выбирают таким образом, чтобы в бесконечности она была равна нулю. Впрочем, в некоторых технических задачах удобнее принимать W_П = 0 в более доступных местах пространства, например, на поверхности Земли или на корпусе автомобиля и самолета.

В заключение параграфа подчеркнём, что согласно (2.21,а) работой именуется изменение потенциальной или кинетической энергии при движении материальной точки, в процессе которого их сумма не меняется.

2.6. Взаимодействие двух изолированных множеств материальных точек

Взаимодействие двух множеств N_I и N_II (рисунок 2.3), изолированных от всей остальной физической реальности, сводится к взаимодействию их центров масс. Эти центры ведут себя так, как отдельные материальные точки с массами M_I и M_II, равными сумме масс точек, входящих в каждое из этих множеств:

Рис. 2.4. К расчету взаимодействия двух изолированных множеств N_I, N_II

(2.23)

Докажем это.

Оба множества I и II можно считать одним изолированным множеством точек и поэтому записать

(2.24,а)

Сила , действующая, на материальную точку M_qI множества N_I складывается, из действия на нее точек обоих множеств:

(2.24, б)

В свою очередь сила равна

(2.24, в)

Подставляя (2.24, б) и (2.24, в) в (2.24, а), получаем:

(2.24,г)

Первое и четвертое слагаемые правой части (2.24, в) равны нулю согласно (2.9), а второе и третье равны по величине и противоположны по знаку:

(2.25)

где и - результирующие силы воздействия множества II на I и, соответственно, I на II. Согласно векторной алгебре, вектор можно приложить к любой точке пространства. В данном случае вектора и удобно приложить к центрам масс обоих множеств C_I и C_II (см. рис. 2.3). Если разделить их на суммарные массы M_I и M_II (см. (2.13)), то можно получить ускорения центров масс множеств I и II:

(2.26)

Формулы (2.25) и (2.26) подтверждают мысль о том, что любое множество материальных точек можно рассматривать как одну точку с массой, равной сумме масс входящих в нее составляющих, и расположенную в центре масс этого множества.

По сути дела, выражение (2.26) есть второй закон Ньютона для множеств I и II, а (2.25) – третий закон Ньютона. Используя это обстоятельство, можно распространить все законы сохранения § 2.3, 2.4 на множество множеств материальных точек. Что касается закона сохранения энергии, то для масс M_I и M_II и скоростей центров масс и он не соблюдается . Из этого следует, что при взаимодействии множества точек наряду с механической энергией (энергия взаимодействия их центров масс) появляется новый вид энергии – энергия хаотического движения материальных точек внутри множеств – тепловая энергия, рассматриваемая в следующей главе.