2.4. Закон сохранения момента импульса изолированного множества материальных точек. Теорема Штейнера
Из формул (2.6), (2.10) и (1.7,г) имеет:
(2.16)
где
-
угловое ускорение вращения точки
вокруг начала координат О
(рис. 2.2,а),
-
момент инерции точки
относительно О.
Согласно второму закону статики (2.11) получаем:
(2.17,а)
Проинтегрировав по времени правую и левую часть(2.17,а), получает
(2.17,б)
где
-
момент импульса точки Mq,
- суммарный момент импульса изолированного
множества рис. 2.2, формула (2.17,б) является
законом сохранения момента импульса.
Этот закон так же, как и закон сохранения
импульса, является следствием симметрии
пространства в данном случае его
изотропности. Этот момент можно
представить себе в виде произведения:
,
(2.17,в)
где
- суммарный момент инерции множества
точек Mq
(рис. 2.2,а) относительно произвольного
начала координат О,
а
-
средняя угловая скорость вращения всех
точек относительно О.
Суммарный момент
инерции
равен сумме
:
(2.17,г)
Из (2.17, б и г) получаем
(2.17,д)
Из формул (2.15) и (2.17,г) выводим:
(2.18)
где
- момент инерции множества материальных
точек
относительно своего центра масс С
(рис. 2.2,б).
Формула (2.18) известна как теорема Штейнера [1, 14].
2.5. Работа, энергия, закон сохранения энергии
В двух предыдущих параграфах мы рассматривали свойства множества материальных точек, интегрируя исходные соотношения (2.9) и (2.11) по времени.
В этом параграфе
применим интегрирование исходных
выражений (2.9) и (2.7) в пространстве,
используя однородность времени. Для
этого рассмотрим движение т. Mq
под воздействием т. Mp
– рис. 2.3. Как видим, в момент времени
t
первая точка находится от второй
на расстоянии
,
имеет скорость
и под действием силы
приобретает ускорение
.
За инфинитезимальный (бесконечно-малый)
интервал времени dt
точка Mp
перемещается на интервал
.
Определим скалярное произведение
(2.19)
где
α –
угол между радиус-вектором
и скоростью
.
Величина А
именуется работой. Отрезок ds
cos
α
равен, если пренебречь величиной
второго порядка малости, разности (R'qp
– Rqp)
= dRqp.
Следовательно,
dA = Fqp dRqp.
Как указывалось выше (см. начало § 2.1, постулат 4), сила Fqp =mqaqp зависит только от одной пространственной величины - Rqp. Обозначим эту зависимость
Fqp
=
(Rqp).
Принято ставить знак «минус» в правой части, так как при этом величина φ(Rpq) будет положительной:
φ(Rpq)= -φ΄(Rpq).
Это связано с тем, что с увеличением Rpq величины apq и Fpq уменьшаются – см. постулат 4 § 2.1.
Тогда имеем
dA = - dφ(Rqp). (2.18)
С другой стороны
(2.19)
Сопоставляя (2.18)и (2.19) имеем
.
Или
(2.20,а)
Из (2.20, а) следует, что разность
(2.20,б)
Рис. 2.3. К расчету работы, потенциальной и кинетической энергии