2.2. Законы статики изолированного множества материальных точек

На рисунке 2.2,а изображено изолированное множество N материальных точек. Изолированное – в том смысле, что на эти точки не действуют никакие другие, кроме тех, которые входят в это множество. Равнодействующая сила, которая действует на произвольную точку M_q, является геометрической суммой сил, действующих со стороны всех остальных:

, (2.8)

где - сила, с которой точка M_p действует на точку М_q В формулу (2.8) формально должна входить и сила , так как 1≤q≤N, хотя такой силы нет. Чтобы не усложнять запись формулы (2.8) здесь и далее примем, что

(2.8, а)

1 Закон статики.

Сумма всех сил, действующих на все точки q = 1÷N, равна нулю.

Действительно, поскольку от перемены мест слагаемых сумма не меняется, можно с учетом (2.7) записать

Подводя итог, имеем

(2.9)

что и требовалось доказать.

Как видим, изолированное множество частиц всегда находится в равновесии.

2 Закон статики.

Сумма моментов, действующих на все точки изолированного множества, равна нулю.

Момент силы, действующий на материальную точку M_q изолированного множества рис. 2.2, определяется формулой

. (2.10)

Сам закон записывается следующим образом

(2.11)

Доказательство формулы (2.11) осуществляется так же, как (2.9).

2.3. Закон сохранения импульса изолированного множества материальных точек. Центр масс

С учетом (2.6) равенство (2.9) можно переписать так

(2.12,а)

Если проинтегрировать правую и левую часть этого равенства по времени, то получим:

(2.12,б)

где - постоянная интегрирования

Произведение именуется импульсом точки M_q или ее количеством движения и обозначается :

(2.12,в)

Формула (2.12,б) именуется законом сохранения импульса (2.12,г)

Рис. 2.2. Изолированное множество материальных точек: а – сложение сил, действующих на материальную точку М, со стороны других точек множества, б – центр масс С множества точек M_q (1 < q < N)

Если снова проинтегрировать по времени теперь уже равенство (2.12,б), получим

(2.13, а)

где – радиус-вектор из начала координат в точку М_q (рис. 2.2, б), а – еще одна постоянная интегрирования. Если правую и левую часть равенства (2.13, а) разделить на сумму масс всех материальных точек множества, то получим:

(2.13, б)

где - радиус-вектор центра масс множества, - этот же радиус-вектор в начальный момент t = 0; скорость движения центра масс (рисунок 2.2, б). Начальный момент времени выбирается произвольно, в зависимости от условий конкретной задачи.

Равенство (2.13, б) свидетельствует о том, что в пространстве, занятом изолированным множеством N частиц, имеется точка С, именуемая центром масс, которая ведет себя, как отдельная материальная точка массы М, равной сумме масс всех точек:

(2.14)

Формулы (2.13, б, 2.14) представляют собой 1 закон Ньютона для изолированного множества материальных точек. Только теперь он звучит следующим образом: центр масс изолированного множества материальных точек сохраняет состояние покоя или равномерного движения.

Ниже будет показано, что вообще изолированное множество материальных точек можно моделировать одной точкой, расположенной в центре масс и имеющей массу, равную сумме масс всех его точек. Из последней формулы следует, в частности, что сумма произведений массы материальных точек на радиусы - векторы, проведенные к ним из центра масс, равна нулю:

(2.15)

где - радиус-вектор, проведенный из центра масс изолированного множества в точку M_q. .

Для доказательства достаточно разместить начало координат О в точке С (рис. 2.2,б). Закон сохранения импульса является следствием симметрии пространства – его однородности.