29. Расчеты бесконечной балки на упругом основании при действии сосредоточенной силы.

I. Бесконечно-длинная балка, загруженная локальной силой

Задача симметрична относительно силы , поэтому рассмотрим лишь ее правую половину. Начало координат поместим под силой .

прогибы балки

формула для изгибающих моментов в балке

формула для поперечных сил в балке

По формулам можно построить эпюры, примерный вид которых показан ниже.

Полученными формулами можно пользоваться и для балок конечной длины, если их длина и даже при . Для более коротких балок ошибки будут значительны.

31. Сложное сопротивление бруса; примеры.

Типы сложного сопротивления бруса:

I. КОСОЙ ИЗГИБ

обязательно .

Косой изгиб может быть плоским, когда вся внешняя нагрузка лежит в одной плоскости и не плоским, когда нагрузки в плоскостях и изменяются произвольно по длине бруса. Величины и знаки , , и в любом сечении бруса определяются из эпюр. Введем понятие полный изгибающий момент, определяемый так

Нормальное напряжение в любой точки сечения с координатами и определяется по формуле 2, полагая в ней

II. Внецентренное сжатие (растяжение)

обязательно , . Эта деформация возникает обычно в вертикальных брусьях и колоннах при действии на них продольных сил , приложенных в т. «Р» (полюс) не совпадающей с т. О – центром тяжести сечении. При переносе силы в т. О брус нагрузится продольной силой и изгибающим моментом , причем все сечения бруса по его длине будут загружены одинаково.

III. Изгиб с кручением

обязательно или или оба .

Эта деформация возникает в пространственных «ломанных» брусьях, в валах различных механизмов, передающие крутящие моменты. Здесь изгиб возникает от веса вала, веса шкивов, натяжения ремней, от зацепления зубчатых колес и т.д. Зная все нагрузки, можно построить все эпюры. Опасное сечение определяется по эпюрам и . Брусья с некруглыми сечениями и тонкостенные незамкнутые сечения (двутавры, швеллера и т.д.), очень плохо работают на кручение. Поэтому, при наличии изгиба с кручением, желательно использовать брусья с круглыми или трубчатыми сечениями. Для них опасное сечение однозначно определяется по полному изгибающему моменту

Расчеты на прочность стержней, испытывающих изгиб с кручением, зависят от формы их поперечных сечений.

Вопрос №32. Внутренние силовые факторы в пространственном «ломаном» стержне, построение их эпюр и определение опасных сечений.

В общем случае нагружения в поперечных сечениях ломаных стержней могут возникать все 6 известных внутренних силовых факторов: продольная сила Nz, поперечные силы , изгибающие моменты Mx, My, крутящий момент Mz.

Построение эпюры Nz.

Построение этой и всех последующих эпюр ведем от свободного конца. Правило знаков для Nz остается таким же, как и для других систем, а именно: растяжению соответствует знак "+", сжатию - "-".

Построение эпюр   Qx и Qy.

Поперечную силу Qx формируют только те силы, которые параллельны оси x на данном участке, а поперечную силу Qy - силы, параллельные оси y. Здесь также сохраняется обычное для Q правило знаков: Qx, Qy > 0, если внешняя сила, приложенная к отсеченной части, стремится повернуть рассматриваемое сечение по часовой стрелке и Qx, Qy < 0 - в противоположном случае.

Построение эпюр Мх, Му.

Ординаты эпюр изгибающих моментов будем, как обычно, откладывать со стороны сжатых волокон, не указывая знаков, причем ориентировать эпюры нужно так, чтобы плоскость эпюры совпадала с плоскостью действия пары того изгибающего момента, для которого она построена. Иначе говоря, эпюра Мх на всех участках ломаного стержня располагается в плоскости yoz, а эпюра Му - в плоскости xoz.

Вопрос №34. Расчеты балок двутаврового и прямоугольного поперечного сечений при косом изгибе.

Двутавровое сечение

Условие прочности в опасных точках двутавра имеет вид  .

Поскольку отношение моментов сопротивления   зависит от номера двутавра. Из написанного условия прочности найдем необходимый момент сопротивления. По сортаменту прокатной стали подбираем номер двутавра. Проверим прочность для двутавра

Найдем перемещение точки  . Будем искать по формуле  сначала вертикальную составляющую перемещения, вызванную вертикальной составляющей нагрузки.

Аналогично определим по  горизонтальную составляющую перемещения

Уравнение нейтральной линии  в опасном сечении 

Прямоугольное сечение

П рименяем метод сечений. Начиная со свободного торца, разбиваем балку на участки, проводя их границы через сечения, в которых приложены внешние силы.

1. Построим эпюру для изгибающего момента M_x. Для этого рассмотрим только все вертикальные силы на балке, то есть те, которые стремятся совершить деформацию изгиба относительно оси x.

Строим эпюры Мх, Му.

Определим нормальные напряжения в четырех опасных точках сечения в заделке по формуле:

;

Рассчитаем моменты инерции прямоугольника:

 (м⁴);  (м⁴).

Значения изгибающих моментов в заделке определяем по эпюрам

Определим напряжение в точке A, B, C, D.

Проверим, соблюдается ли в этих точках условие прочности

Строим эпюру нормальных напряжений в сечении, находящемся в заделке

Вопрос №36. Внецентренное растяжение-сжатие. Определение нормальных напряжений. Нулевая линия. Уравнение нулевой линии «в отрезках». Зависимость положения нулевой линии от положения точки приложения силы.

Внецентренным растяжением (сжатием) называется такой вид нагружения, при котором равнодей-ая

внешних сил не совпадает с осью стержня, как при обычном растяжении (сжатии), а смещена относительно продольной оси и остается ей параллельной.

Оси X и Y – центральные и главные оси инерции поперечного сечения. Нормальные напряжения в поперечном сечении от действия силы Р смещенной относительно центра тяжести в точку А с координатами ХP и YP , определяются по формуле:

Р - равнодействующая внешних или внутренних сил;

F - площадь поперечного сечения;

ХP, YP - координаты точки приложения силы Р.

х, у - текущие координаты точки, в которой определяется напряжение ϭ;

ix, iy - главные радиусы инерции поперечного сечения.

Квадраты главных радиусов инерции определяются по формулам:

моменты инерции поперечного сечения. Уравнение нулевой линии.

Так как Р # 0, то из этого выражения следует

Нулевая линия - прямая . Точки пересечения нулевой линии с осями координат определяются выражениями:

Центром давления называют точку пересечения равнодействующей внешних или внутренних сил с плоскостью поперечного сечения.

Ядром сечения называют часть плоскости поперечного сечения, расположенную в окрестности центра тяжести удовлетворяющую условию: если центр давления располагается внутри или на границе ядра сечения, то в любой точке поперечного сечения с текущими координатами (х, у) возникают напряжения одного знака.

Чтобы в поперечном сечении возникали напряжения одного знака, нулевая линия должна располагаться либо вне поперечного сечения, либо быть касательной к поперечному сечению, что используется при определении границ ядра сечения.

37. Эпюры нормальных напряжений при Внецентренном растяжении сжатии, условие прочности..

Внецентренное растяжение и сжатие вызывается действием силы , параллельной продольной оси стержня , но не проходит через центр тяжести поперечного сечения .

Рассмотрим брус с произвольной формой поперечного сечения , на который действует сила параллельно оси бруса и пересекает любое поперечное сечение в точке А. Координаты этой точки в системе главных осей инерции сечения обозначим через и (Рис.1). Расстояние точки А от центра тяжести сечения обозначим буквой и назовем эксцентриситетом приложения силы .

Приложим в точках В и 0 две пары уравновешенных систем сил. В результате получим две пары сил : и . Кроме того , в точке 0 появится сила, действующая вдоль оси. Эти внешние силы вызовут в произвольном поперечном сечении, находится на расстоянии от основания фигуры , внутренние силовые факторы :; .

Таким образом , напряжение в произвольной точке поперечного сечения состоять из напряжений , вызванных продольной силой и напряжениями чистого изгиба , вызванных моментами и . После несложных преобразований , выражая внутренние усилия через внешнюю силу , нормальные напряжения получаем в виде:

(1)

рис.1

Принимая во внимание, что

квадраты радиусов инерции сечения относительно главных осей и , формулу ( 1 ) преобразуем к виду :

(2)

При определении напряжений по формуле (2 ) знак " +" принимается для случая , если сила растяжных . При сжимающих силе перед скобкой в формуле ( 2 ) принимается знак " - " .

Поскольку при внецентренном растяжении или сжатии возникает осевое растяжение (сжатие ) и чистый пространственное сгибание , все поперечные сечения стержня равной степени опасны. Опасные точки в поперечном сечении найдем , построив нулевую линию. Уравнение нулевой линии получим , если приравняем нулю напряжения , вычисленные по формуле ( 2 ) в произвольной точке нулевой линии с координатами и :

(3)

Построим нулевую линию (Рис.2).

рис.2

Поскольку координаты нулевой линии и входящих в формулу ( 3 ) в первой степени , нулевая линия является прямой линией. Следовательно, ее можно построить , определив отрезки, нулевая линия отсекает на осях координат и . Для их определения зададим в формуле ( 3) значение . Тогда , обозначив отрезок, нулевая линия отсекать на оси через и вводя его в формулу ( 3 ) вместо , получим :

(4)

Задавая , аналогичным образом из формулы ( 3 ) получим :

(5)

Откладываем найдены отрезки на осях координат ( рис.2) и строим нулевую линию.

Проанализируем поведение нулевой линии при внецентренном растяжении ( сжатии ) :

1 . Нулевая линия - прямая линия .

2 . Нулевая линия не проходит через центр тяжести поперечного сечения .

3 . Нулевая линия проходит через две четверти координат , одной из которых не принадлежит точка приложения силы ( нулевая линия никогда не проходит через ту четверть , в которой находится точка приложения силы) .

Теперь , имея нулевую линию , проводим параллельно ей касательные к контуру сечения и находим опасные точки сечения В и С в растянутой и сжатой зонах сечения (Рис.2). Напряжение в этих точках и условия прочности имеют вид:

(6)

(7)

Координаты точек приложения силы и , а также координаты А и В , в которых определяются напряжения , проставляются в формулах ( 6 ) и (7 ) со своими знаками. Эпюра нормальных напряжений для данного случая внецентренного растяжение приведена на рис.2 .

Для прямоугольного сечения максимальные напряжения возникают в одной из угловых точек и условие прочности удобно использовать в таком виде:

(8)