24. Определение постоянных при интегрировании дифференциального уравнения изгиба балки.

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его интегрирование.

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией, а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям y=y(x) их центров тяжести сечений – прогибами балки.

Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

Выбор знака в правой части определяется направлением координатной оси y, так как от этого направления зависит знак второй производной y^//. Если ось направлена вверх, то, надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки y^// и M_z противоположны - в правой части знак минус. Уравнение справедливо только в пределах применимости закона Гука.

Интегрируя, находим сначала углы поворота сечений

а после второго интегрирования – прогибы балки

25. Интегрирование дифференциального уравнения изгиба балки с несколькими участками. Метод Клебша.

Для составления уравнений необходимо выполнить следующие основные условия:

начало координат, для всех участков, необходимо расположить в крайнем левом конце балки;
интегрирование дифференциального уравнения упругой линии балки проводить, не раскрывая скобок;
при включении в уравнение внешнего сосредоточенного момента М его необходимо помножить на (Z – a), где а – координата сечения, в котором приложен момент;
в случае обрыва распределенной нагрузки ее продлевают до конца балки, а для восстановления действительных условий нагружения вводят «компенсирующую» нагрузку обратного направления

Метод начальных параметров

Для углов поворота

(17)

Для прогибов:

(18)

где θ – угол поворота сечения; w – прогиб; θo – угол поворота в начале координат; w0 – прогиб в начале координат; dі – расстояние от начало координат до i-й опоры балки; ai – расстояние от начало координат до точки приложения сосредоточенного момента Mi; bi – расстояние от начало координат до точки приложения сосредоточенной силы Fi; сi – расстояние от начало координат до начала участка распределенной нагрузки qi; Ri и Мрi – реакция и реактивный момент в опорах балки.

27. Балка на упругом основании

Рис.10.1

В инженерной практике встречаются балки, лежащие на сплошном упругом основании. Это ленточные фундаменты зданий, фундаменты плотин, ж/д шпалы и др. Расчет таких балок осложняется тем, что реакция оснований « »

зависит от прогибов « » балки, а прогибы зависят от реакции основания. Для решения задачи необходимо знать закон, связывающий реакцию основания с осадкой (прогибом) основания. Наиболее распространенной является гипотеза Винклера

(1)

Обозначим

(2)

Здесь: внешняя погонная нагрузка; коэффициент постели, приводится в справочниках для различных грунтов; суммарная погонная нагрузка, действующая на балку.